Calcule a integral \( I = \int_1^e \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \). a) 1 b) \( \ln(2) \) c) \( e-1 \) d) \( \infty \)

Para calcular a integral \( I = \int_1^e \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \), podemos fazer uma substituição. Vamos usar a substituição \( u = \ln(x) \). Assim, temos: - \( du = \frac{1}{x} \, dx \) ou \( dx = x \, du = e^u \, du \). - Quando \( x = 1 \), \( u = \ln(1) = 0 \). - Quando \( x = e \), \( u = \ln(e) = 1 \). Substituindo na integral, temos: \[ I = \int_0^1 \frac{1}{e^u u} e^u \, du = \int_0^1 \frac{1}{u} \, du. \] A integral \( \int_0^1 \frac{1}{u} \, du \) diverge, pois a função \( \frac{1}{u} \) tem uma singularidade em \( u = 0 \). Portanto, a resposta correta é: d) \( \infty \).