Problema 26: Calcule a integral \(\int_0^1 (x^4 - 3x^2 + 2) \, dx\). a) 0 b) \(\frac{1}{5}\) c) \(\frac{2}{5}\) d) \(\frac{1}{3}\)

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^4 - 3x^2 + 2) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(f(x) = x^4 - 3x^2 + 2\). 1. A antiderivada de \(x^4\) é \(\frac{x^5}{5}\). 2. A antiderivada de \(-3x^2\) é \(-x^3\). 3. A antiderivada de \(2\) é \(2x\). Assim, a antiderivada de \(f(x)\) é: \[ F(x) = \frac{x^5}{5} - x^3 + 2x \] Agora, vamos calcular \(F(1)\) e \(F(0)\): - \(F(1) = \frac{1^5}{5} - 1^3 + 2 \cdot 1 = \frac{1}{5} - 1 + 2 = \frac{1}{5} + 1 = \frac{1}{5} + \frac{5}{5} = \frac{6}{5}\) - \(F(0) = \frac{0^5}{5} - 0^3 + 2 \cdot 0 = 0\) Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^1 (x^4 - 3x^2 + 2) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{6}{5} - 0 = \frac{6}{5} \] No entanto, parece que não temos essa opção nas alternativas. Vamos verificar se a função tem raízes que podem afetar a integral. A função \(x^4 - 3x^2 + 2\) pode ser fatorada ou analisada para encontrar os pontos onde ela é igual a zero, mas como estamos apenas calculando a integral definida, o resultado final é \(\frac{6}{5}\). Como não temos essa opção, parece que houve um erro nas alternativas. A resposta correta para a integral é \(\frac{6}{5}\), que não está entre as opções fornecidas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!