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Problema 33: Determine a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\).

a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\)
b) \(\frac{1}{x^3 + 1}\)
c) \(\frac{3}{x^3 + 1}\)
d) \(\frac{3x}{x^3 + 1}\)
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há 11 meses

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há 11 meses

Para determinar a derivada da função \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\), utilizamos a regra da cadeia. A derivada de \(\ln(u)\) é \(\frac{1}{u} \cdot u'\), onde \(u = x^3 + 1\). 1. Primeiro, encontramos \(u' = \frac{d}{dx}(x^3 + 1) = 3x^2\). 2. Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{x^3 + 1} \] Analisando as alternativas: a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) - Correta. b) \(\frac{1}{x^3 + 1}\) - Incorreta. c) \(\frac{3}{x^3 + 1}\) - Incorreta. d) \(\frac{3x}{x^3 + 1}\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\).

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Problema 24: Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx\).

a) \(\frac{1}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + C\)
b) \(\ln|x^2 - 1| + C\)
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d) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\)

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a) 0
b) 1
c) 2
d) \(\pi\)

Problema 26: Calcule a integral \(\int_0^1 (x^4 - 3x^2 + 2) \, dx\).

a) 0
b) \(\frac{1}{5}\)
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Problema 27: Determine o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\).

a) 1
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Problema 28: Calcule a integral \(\int \sin^3(x) \, dx\).

a) \(-\frac{1}{3} \cos^3(x) + C\)
b) \(-\cos(x) + C\)
c) \(-\frac{1}{3} \sin^3(x) + C\)
d) \(\frac{1}{3} \sin^3(x) + C\)

Problema 29: Determine a derivada de \(f(x) = e^{x^2}\).

a) \(2xe^{x^2}\)
b) \(e^{x^2}\)
c) \(x^2 e^{x^2}\)
d) \(2x^2 e^{x^2}\)

Problema 30: Calcule o valor da integral \(\int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx\).

a) 0
b) \(\frac{1}{4}\)
c) \(\frac{1}{3}\)
d) \(\frac{1}{2}\)

Problema 31: Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\).

a) 3
b) 0
c) 1
d) Infinito

Problema 32: Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\).

a) \(\tan^{-1}(x) + C\)
b) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\)
c) \(\frac{1}{x} + C\)
d) \(\ln|x| + C\)

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