Para calcular a integral \(\int \sin^3(x) \, dx\), podemos usar a identidade trigonométrica e a substituição. Primeiro, podemos reescrever \(\sin^3(x)\) como \(\sin(x) \cdot \sin^2(x)\) e usar a identidade \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\): \[ \int \sin^3(x) \, dx = \int \sin(x) (1 - \cos^2(x)) \, dx \] Agora, isso se torna: \[ \int \sin(x) \, dx - \int \sin(x) \cos^2(x) \, dx \] A primeira parte, \(\int \sin(x) \, dx\), é \(-\cos(x) + C\). Para a segunda parte, podemos usar a substituição \(u = \cos(x)\), onde \(du = -\sin(x) \, dx\). Assim, temos: \[ -\int \cos^2(x) \sin(x) \, dx = \int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{\cos^3(x)}{3} + C \] Portanto, a integral completa é: \[ -\cos(x) + \frac{\cos^3(x)}{3} + C \] Assim, a resposta correta, simplificando, é: \[ \int \sin^3(x) \, dx = -\frac{1}{3} \cos^3(x) + C \] Portanto, a alternativa correta é: a) \(-\frac{1}{3} \cos^3(x) + C\).