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Problema 30: Calcule o valor da integral \(\int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx\). a) 0 b) \(\frac{1}{4}\) c) \(\frac{1}{3}\) d) \(\frac{1}{2}\)

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há 11 meses

Para calcular a integral \(\int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(2x^3 - 3x^2 + 1\). 1. A antiderivada de \(2x^3\) é \(\frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4\). 2. A antiderivada de \(-3x^2\) é \(-\frac{3}{3}x^3 = -x^3\). 3. A antiderivada de \(1\) é \(x\). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + x \] Agora, vamos calcular \(F(1)\) e \(F(0)\): \[ F(1) = \frac{1}{2}(1)^4 - (1)^3 + (1) = \frac{1}{2} - 1 + 1 = \frac{1}{2} \] \[ F(0) = \frac{1}{2}(0)^4 - (0)^3 + (0) = 0 \] Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \] Portanto, a resposta correta é: d) \(\frac{1}{2}\)

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Problema 24: Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx\).

a) \(\frac{1}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + C\)
b) \(\ln|x^2 - 1| + C\)
c) \(\frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C\)
d) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\)

Problema 25: Determine a integral \(\int_0^{\pi} \sin(x) \, dx\).

a) 0
b) 1
c) 2
d) \(\pi\)

Problema 26: Calcule a integral \(\int_0^1 (x^4 - 3x^2 + 2) \, dx\).

a) 0
b) \(\frac{1}{5}\)
c) \(\frac{2}{5}\)
d) \(\frac{1}{3}\)

Problema 27: Determine o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\).

a) 1
b) 2
c) 0
d) Infinito

Problema 28: Calcule a integral \(\int \sin^3(x) \, dx\).

a) \(-\frac{1}{3} \cos^3(x) + C\)
b) \(-\cos(x) + C\)
c) \(-\frac{1}{3} \sin^3(x) + C\)
d) \(\frac{1}{3} \sin^3(x) + C\)

Problema 29: Determine a derivada de \(f(x) = e^{x^2}\).

a) \(2xe^{x^2}\)
b) \(e^{x^2}\)
c) \(x^2 e^{x^2}\)
d) \(2x^2 e^{x^2}\)

Problema 31: Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\).

a) 3
b) 0
c) 1
d) Infinito

Problema 32: Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\).

a) \(\tan^{-1}(x) + C\)
b) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\)
c) \(\frac{1}{x} + C\)
d) \(\ln|x| + C\)

Problema 33: Determine a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\).

a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\)
b) \(\frac{1}{x^3 + 1}\)
c) \(\frac{3}{x^3 + 1}\)
d) \(\frac{3x}{x^3 + 1}\)

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