Grátis: Problema 32: Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). a) \(\tan^{-1}(x) + C\) b) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\) c) \(\frac{1}{x} + C...

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Problema 32: Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\).

a) \(\tan^{-1}(x) + C\)
b) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\)
c) \(\frac{1}{x} + C\)
d) \(\ln|x| + C\)

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Para calcular a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\), sabemos que a integral de \(\frac{1}{x^2 + 1}\) é uma forma padrão que resulta na função arco-tangente. Assim, temos: \[ \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \tan^{-1}(x) + C \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \(\tan^{-1}(x) + C\) - Esta é a resposta correta. b) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta, pois a integral não tem esse fator. c) \(\frac{1}{x} + C\) - Incorreta, pois não é a forma da integral. d) \(\ln|x| + C\) - Incorreta, pois não corresponde à integral dada. Portanto, a alternativa correta é: a) \(\tan^{-1}(x) + C\).

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