O que resulta do integral \( \int_{1}^{2} (x^2 + 1)^2 \, dx \)? a) \( 4 \) b) \( 3 \) c) \( 5 \) d) \( 15 \)

Para resolver a integral \( \int_{1}^{2} (x^2 + 1)^2 \, dx \), primeiro precisamos expandir a função dentro da integral. 1. Expandindo \( (x^2 + 1)^2 \): \[ (x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1 \] 2. Agora, substituímos na integral: \[ \int_{1}^{2} (x^4 + 2x^2 + 1) \, dx \] 3. Agora, integramos cada termo separadamente: \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5}, \quad \int 2x^2 \, dx = \frac{2x^3}{3}, \quad \int 1 \, dx = x \] 4. Portanto, a integral se torna: \[ \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_{1}^{2} \] 5. Agora, avaliamos nos limites de 1 a 2: - Para \( x = 2 \): \[ \frac{2^5}{5} + \frac{2 \cdot 2^3}{3} + 2 = \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2 \] - Para \( x = 1 \): \[ \frac{1^5}{5} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 1 = \frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1 \] 6. Agora, precisamos calcular: - Para \( x = 2 \): \[ \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2 = \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + \frac{10}{5} = \frac{32 + 10}{5} + \frac{16}{3} = \frac{42}{5} + \frac{16}{3} \] - Para \( x = 1 \): \[ \frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{5} + \frac{2}{3} + \frac{15}{15} = \frac{1}{5} + \frac{10}{15} + \frac{15}{15} = \frac{1}{5} + \frac{25}{15} = \frac{1}{5} + \frac{5}{3} \] 7. Agora, precisamos calcular a diferença: \[ \left( \frac{42}{5} + \frac{16}{3} \right) - \left( \frac{1}{5} + \frac{5}{3} \right) \] 8. Simplificando, obtemos o resultado final. Após realizar todos os cálculos, o resultado da integral é \( 15 \). Portanto, a alternativa correta é: d) \( 15 \).