Qual é o resultado da integral \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \)? a) \( \frac{\pi}{2} \) b) \( \frac{\pi}{4} \) c) \( \frac{3\pi}{8} \) d) \( 2 \)

Para resolver a integral \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \), podemos usar a identidade trigonométrica: \[ \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \] Substituindo na integral, temos: \[ \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx \] Isso pode ser separado em duas integrais: \[ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} 1 \, dx - \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \cos(2x) \, dx \] Calculando a primeira integral: \[ \int_{0}^{\pi} 1 \, dx = \pi \] E a segunda integral: \[ \int_{0}^{\pi} \cos(2x) \, dx = \left[ \frac{\sin(2x)}{2} \right]_{0}^{\pi} = \frac{\sin(2\pi)}{2} - \frac{\sin(0)}{2} = 0 \] Portanto, temos: \[ \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2} (\pi - 0) = \frac{\pi}{2} \] Assim, a resposta correta é: a) \( \frac{\pi}{2} \)