Para resolver a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \), podemos fazer uma substituição que nos ajude a identificar a forma correta. Sabemos que a integral da forma \( \int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx \) é dada por \( \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \). No nosso caso, temos \( a^2 = 4 \), então \( a = 2 \). Assim, a integral se torna: \[ \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \int \frac{1}{2^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \] Agora, analisando as alternativas: a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \) - Esta está correta. b) \( \cot^{-1}(x) + C \) - Não é a forma correta. c) \( \tan^{-1}(x) + C \) - Também não é a forma correta. d) \( \frac{1}{4} x + C \) - Não é a forma correta. Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \).