43. Calcule o volume da região delimitada pela função z = 4 - x^2 - y^2. A) 64π/3 B) 32π C) 16π D) 8π

Para calcular o volume da região delimitada pela função \( z = 4 - x^2 - y^2 \), precisamos entender que essa função representa um paraboloide invertido. 1. Identificar a interseção com o plano \( z = 0 \): \[ 4 - x^2 - y^2 = 0 \implies x^2 + y^2 = 4 \] Isso nos dá um círculo de raio 2 no plano \( xy \). 2. Calcular o volume: O volume pode ser calculado usando coordenadas polares, onde \( x = r \cos(\theta) \) e \( y = r \sin(\theta) \). O limite de \( r \) vai de 0 a 2 e \( \theta \) de 0 a \( 2\pi \). A integral para o volume \( V \) é dada por: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4 - r^2) r \, dr \, d\theta \] - Primeiro, resolvemos a integral em relação a \( r \): \[ V = \int_0^{2\pi} \left( \int_0^2 (4r - r^3) \, dr \right) d\theta \] - Calculando a integral interna: \[ \int_0^2 (4r - r^3) \, dr = \left[ 2r^2 - \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = \left[ 2(2^2) - \frac{(2^4)}{4} \right] = \left[ 8 - 4 \right] = 4 \] - Agora, integramos em relação a \( \theta \): \[ V = \int_0^{2\pi} 4 \, d\theta = 4(2\pi) = 8\pi \] Portanto, o volume da região delimitada pela função é \( 8\pi \). A alternativa correta é: D) 8π.