Qual é o intervalo de crescimento da função f(x) = x^3 - 3x^2 + 4? a) (0, 2) b) (1, ∞) c) (-∞, 1) d) Todos os números reais

Para determinar o intervalo de crescimento da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \), precisamos calcular a derivada da função e analisar onde essa derivada é positiva. 1. Calcular a derivada: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \] Podemos fatorar a derivada: \[ f'(x) = 3x(x - 2) \] 2. Encontrar os pontos críticos: Igualamos a derivada a zero: \[ 3x(x - 2) = 0 \] Isso nos dá os pontos críticos \( x = 0 \) e \( x = 2 \). 3. Analisar o sinal da derivada: Vamos testar os intervalos determinados pelos pontos críticos: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 2) \) e \( (2, \infty) \). - Para \( x < 0 \) (por exemplo, \( x = -1 \)): \[ f'(-1) = 3(-1)(-1 - 2) = 3(-1)(-3) = 9 > 0 \quad \text{(crescente)} \] - Para \( 0 < x < 2 \) (por exemplo, \( x = 1 \)): \[ f'(1) = 3(1)(1 - 2) = 3(1)(-1) = -3 < 0 \quad \text{(decrescente)} \] - Para \( x > 2 \) (por exemplo, \( x = 3 \)): \[ f'(3) = 3(3)(3 - 2) = 3(3)(1) = 9 > 0 \quad \text{(crescente)} \] 4. Conclusão: A função é crescente em \( (-\infty, 0) \) e \( (2, \infty) \). Portanto, o intervalo de crescimento da função é \( (-\infty, 0) \cup (2, \infty) \). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde exatamente a essa conclusão. No entanto, se considerarmos que a função é crescente em \( (2, \infty) \), a alternativa que mais se aproxima é: b) (1, ∞) Mas, na verdade, a função é crescente em \( (2, \infty) \) e não em \( (1, \infty) \). Portanto, a resposta correta não está entre as opções dadas.