Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x} \)? A) 0 B) 1 C) Infinito D) Não existe

Para resolver o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x} \), podemos simplificar a expressão: \[ \frac{x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x} = x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \] Agora, precisamos analisar o comportamento de \( \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) quando \( x \) se aproxima de 0. Sabemos que \( \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) oscila entre -1 e 1, então: \[ -x \leq x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x \] À medida que \( x \) se aproxima de 0, tanto \( -x \) quanto \( x \) se aproximam de 0. Portanto, pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche), podemos concluir que: \[ \lim_{x \to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \] Assim, o limite é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x} = 0 \] Portanto, a alternativa correta é: A) 0