Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx \)? A) 0

Para calcular o valor da integral \( \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx \), vamos resolver passo a passo. 1. Calcular a integral: \[ \int (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx = \frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3} + C \] 2. Avaliar a integral definida de 0 a 1: \[ \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 \] 3. Substituir os limites: \[ = \left( \frac{1^5}{5} - \frac{1^4}{2} + \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{0^5}{5} - \frac{0^4}{2} + \frac{0^3}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) - 0 \] 4. Encontrar um denominador comum (que é 30): \[ = \left( \frac{6}{30} - \frac{15}{30} + \frac{10}{30} \right) \] \[ = \frac{6 - 15 + 10}{30} = \frac{1}{30} \] Portanto, o valor da integral \( \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx \) é \( \frac{1}{30} \). A resposta correta não é A) 0, mas sim \( \frac{1}{30} \).