eqxdc oraculo

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D) -1 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** A integral resulta em \( \left[ x^3 - 2x^2 + x \right]_0^1 = (1 - 2 + 1) - (0) = 0 
\). 
 
29. **Qual é a derivada de \( f(x) = x^3 \ln(x) \)?** 
 A) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) 
 B) \( 3x^2 \ln(x) - x^2 \) 
 C) \( 3x^2 \) 
 D) \( 3x^2 \ln(x) + 3x \) 
 **Resposta:** A) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, temos \( f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^2 \). 
 
30. **Qual é o valor de \( \int e^{2x} \sin(3x) \, dx \)?** 
 A) \( \frac{e^{2x}}{13} (3 \sin(3x) - 2 \cos(3x)) + C \) 
 B) \( \frac{e^{2x}}{5} \sin(3x) + C \) 
 C) \( e^{2x} \sin(3x) + C \) 
 D) \( \frac{e^{2x}}{13} (2 \sin(3x) + 3 \cos(3x)) + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{e^{2x}}{13} (3 \sin(3x) - 2 \cos(3x)) + C \) 
 **Explicação:** Usando a integração por partes duas vezes, obtemos a expressão final. 
 
31. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x} \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) Infinito 
 D) Não existe 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** A função \( \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) oscila entre -1 e 1, então \( |x 
\sin\left(\frac{1}{x}\right)| \leq |x| \). Assim, \( \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 
\). 
 
32. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 3y^2 \)?** 
 A) \( y = \frac{1}{C - 3x} \) 
 B) \( y = Ce^{3x} \) 
 C) \( y = 3x + C \) 
 D) \( y = Cx^3 \) 
 **Resposta:** A) \( y = \frac{1}{C - 3x} \) 
 **Explicação:** Separando as variáveis, temos \( \frac{dy}{y^2} = 3dx \). Integrando, 
obtemos \( -\frac{1}{y} = 3x + C \), resultando em \( y = \frac{1}{C - 3x} \). 
 
33. **Qual é o valor de \( \int_0^{\pi} \cos(x) \, dx \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) 3 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** A integral de \( \cos(x) \) é \( \sin(x) \). Avaliando de 0 a \( \pi \), temos \( 
\sin(\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0 \). 
 
34. **Qual é o resultado de \( \frac{d}{dx}(x^2 \cdot e^{3x}) \)?** 
 A) \( 2x e^{3x} + 3x^2 e^{3x} \) 
 B) \( e^{3x} (2x + 3x^2) \) 
 C) \( 3x^2 e^{3x} + 2x e^{3x} \) 
 D) \( 3x^2 e^{3x} + 6x^2 e^{3x} \) 
 **Resposta:** B) \( e^{3x} (2x + 3x^2) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \( u = x^2 \) e \( v = e^{3x} \). Assim, \( u' = 2x 
\) e \( v' = 3e^{3x} \). Portanto, \( \frac{d}{dx}(x^2 e^{3x}) = e^{3x}(2x + 3x^2) \). 
 
35. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) Infinito 
 **Resposta:** C) 2 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k \). Assim, \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(2x)}{2x} = 2 \cdot 1 = 2 \). 
 
36. **Qual é a integral de \( \int x^2 e^{x^3} \, dx \)?** 
 A) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \) 
 B) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \) 
 C) \( e^{x^3} + C \) 
 D) \( \frac{1}{3} x^3 e^{x^3} + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = x^3 \), temos \( du = 3x^2 \, dx \) ou \( 
\frac{1}{3} du = x^2 \, dx \). Assim, a integral se torna \( \frac{1}{3} \int e^{u} \, du = 
\frac{1}{3} e^{x^3} + C \). 
 
37. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin(x)} \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 3 
 D) Infinito 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** Sabemos que \( \sin(x) \approx x \) quando \( x \) está próximo de 0, 
então \( \frac{x^3}{\sin(x)} \approx \frac{x^3}{x} = x^2 \), que tende a 0 quando \( x \to 0 \). 
 
38. **Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x} \)?** 
 A) \( -\frac{1}{x^2} \) 
 B) \( \frac{1}{x^2} \) 
 C) \( -\frac{1}{x} \) 
 D) \( \frac{1}{x} \) 
 **Resposta:** A) \( -\frac{1}{x^2} \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \frac{1}{x} \) é \( -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \). 
 
39. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx \)?** 
 A) 0