Resolva a equação z^3 = 1. a) 1 b) -1 + ext{√3}i c) -1 - ext{√3}i d) Todas as anteriores

Para resolver a equação \( z^3 = 1 \), precisamos encontrar as raízes cúbicas da unidade. As raízes da equação podem ser encontradas usando a forma polar. A raiz cúbica de 1 é \( 1 \) e as outras raízes podem ser encontradas usando a fórmula: \[ z_k = r^{1/n} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right) \] onde \( r = 1 \) (módulo de 1) e \( \theta = 0 \) (argumento de 1), e \( n = 3 \) (porque estamos buscando raízes cúbicas). As raízes são: 1. Para \( k = 0 \): \[ z_0 = 1 \] 2. Para \( k = 1 \): \[ z_1 = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \] 3. Para \( k = 2 \): \[ z_2 = \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \] Assim, as raízes são: - \( z_0 = 1 \) - \( z_1 = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \) - \( z_2 = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \) Analisando as alternativas: a) 1 - Correto. b) -1 + \( \sqrt{3}i \) - Incorreto (deveria ser \( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \)). c) -1 - \( \sqrt{3}i \) - Incorreto (deveria ser \( -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \)). d) Todas as anteriores - Incorreto. Portanto, a única alternativa correta é a) 1.