Para resolver a integral \(\int x^2 e^x \,dx\) usando integração por partes, vamos aplicar a fórmula: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Escolhemos: - \(u = x^2\) \(\Rightarrow du = 2x \,dx\) - \(dv = e^x \,dx\) \(\Rightarrow v = e^x\) Agora, aplicando a fórmula: \[ \int x^2 e^x \,dx = x^2 e^x - \int e^x (2x) \,dx \] Agora precisamos calcular \(\int 2x e^x \,dx\) novamente usando integração por partes. Para isso, escolhemos: - \(u = 2x\) \(\Rightarrow du = 2 \,dx\) - \(dv = e^x \,dx\) \(\Rightarrow v = e^x\) Aplicando a fórmula novamente: \[ \int 2x e^x \,dx = 2x e^x - \int 2 e^x \,dx = 2x e^x - 2e^x \] Substituindo de volta na primeira integral: \[ \int x^2 e^x \,dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C \] Agora, analisando as alternativas: a) \(x^2 e^x - 2e^x + C\) b) \(x^2 e^x - e^x + C\) c) \(x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C\) d) \(x^2 e^x + e^x + C\) A alternativa correta é: c) \(x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C\).