Problema 28: Determine o valor de \\int_1^2 (x^3 - 3x + 2) \,dx. Agora, escolha a alternativa correta: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

Para resolver a integral \(\int_1^2 (x^3 - 3x + 2) \,dx\), vamos primeiro calcular a primitiva da função \(f(x) = x^3 - 3x + 2\). 1. A primitiva de \(x^3\) é \(\frac{x^4}{4}\). 2. A primitiva de \(-3x\) é \(-\frac{3x^2}{2}\). 3. A primitiva de \(2\) é \(2x\). Assim, a primitiva \(F(x)\) é: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x \] Agora, vamos calcular \(F(2)\) e \(F(1)\): - Para \(x = 2\): \[ F(2) = \frac{2^4}{4} - \frac{3 \cdot 2^2}{2} + 2 \cdot 2 = \frac{16}{4} - \frac{3 \cdot 4}{2} + 4 = 4 - 6 + 4 = 2 \] - Para \(x = 1\): \[ F(1) = \frac{1^4}{4} - \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1 = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{8}{4} = \frac{3}{4} \] Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_1^2 (x^3 - 3x + 2) \,dx = F(2) - F(1) = 2 - \frac{3}{4} = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \] Como \(\frac{5}{4}\) não está entre as opções, parece que houve um erro na interpretação ou nas opções. No entanto, se considerarmos a integral, o resultado correto é \(\frac{5}{4}\). Nenhuma das alternativas (0, 1, 2, 3) é correta. Você pode querer verificar a questão ou as opções fornecidas.