Problema 30: Determine a integral \\int_0^1 (2x^2 + 3x + 1) \,dx. Agora, escolha a alternativa correta: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Para resolver a integral \(\int_0^1 (2x^2 + 3x + 1) \,dx\), vamos calcular passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada: - A antiderivada de \(2x^2\) é \(\frac{2}{3}x^3\). - A antiderivada de \(3x\) é \(\frac{3}{2}x^2\). - A antiderivada de \(1\) é \(x\). Portanto, a antiderivada de \(2x^2 + 3x + 1\) é: \[ \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x \] 2. Avaliar a integral de 0 a 1: \[ \int_0^1 (2x^2 + 3x + 1) \,dx = \left[\frac{2}{3}(1)^3 + \frac{3}{2}(1)^2 + (1)\right] - \left[\frac{2}{3}(0)^3 + \frac{3}{2}(0)^2 + (0)\right] \] \[ = \left[\frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 1\right] - 0 \] 3. Calcular o valor: - Para somar \(\frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 1\), precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum entre 3 e 2 é 6. - Convertendo: - \(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\) - \(\frac{3}{2} = \frac{9}{6}\) - \(1 = \frac{6}{6}\) Agora somando: \[ \frac{4}{6} + \frac{9}{6} + \frac{6}{6} = \frac{19}{6} \] 4. Verificando as alternativas: Nenhuma das alternativas (1, 2, 3, 4) corresponde a \(\frac{19}{6}\), que é aproximadamente 3,17. Parece que não há uma alternativa correta entre as opções dadas. Você pode querer verificar se as opções estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente.