Se z = 3 + 4i, qual é \overline{z}^3? a) \ -3 + 4i b) \ -3 - 4i c) \ -64 + 0i d) \ 0 + 64i

Para resolver a questão, primeiro precisamos encontrar o conjugado de \( z \). Dado que \( z = 3 + 4i \), o conjugado \( \overline{z} \) é \( 3 - 4i \). Agora, precisamos calcular \( \overline{z}^3 \): 1. Primeiro, vamos calcular \( \overline{z}^2 \): \[ \overline{z}^2 = (3 - 4i)(3 - 4i) = 9 - 24i + 16i^2 = 9 - 24i - 16 = -7 - 24i \] 2. Agora, multiplicamos \( \overline{z}^2 \) por \( \overline{z} \) para encontrar \( \overline{z}^3 \): \[ \overline{z}^3 = (-7 - 24i)(3 - 4i) \] \[ = -21 + 28i - 72i - 96i^2 \] \[ = -21 - 44i + 96 = 75 - 44i \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \(-3 + 4i\) b) \(-3 - 4i\) c) \(-64 + 0i\) d) \(0 + 64i\) Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado \( 75 - 44i \). Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas ou na formulação da pergunta. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!