Qual é o valor de z que satisfaz z^3 + 8 = 0? a) -2 b) -2 cis rac{2 ext{pi}}{3} c) -2 cis rac{4 ext{pi}}{3} d) 2

Para resolver a equação \( z^3 + 8 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^3 = -8 \). O número \(-8\) pode ser expresso na forma polar como \( 8 \text{cis} \pi\), onde \( \text{cis} \theta = \cos \theta + i \sin \theta\). Agora, para encontrar as raízes cúbicas de \(-8\), usamos a fórmula das raízes de um número complexo: \[ z_k = r^{1/n} \text{cis} \left( \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right) \] onde \( r = 8 \), \( \theta = \pi \), \( n = 3 \) e \( k = 0, 1, 2 \). Calculando: 1. \( r^{1/3} = 2 \) 2. Para \( k = 0 \): \[ z_0 = 2 \text{cis} \left( \frac{\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi}{3} \right) = 2 \text{cis} \left( \frac{\pi}{3} \right) \] 3. Para \( k = 1 \): \[ z_1 = 2 \text{cis} \left( \frac{\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi}{3} \right) = 2 \text{cis} \left( \frac{\pi + 2\pi}{3} \right) = 2 \text{cis} \left( \frac{3\pi}{3} \right) = 2 \text{cis} \pi = -2 \] 4. Para \( k = 2 \): \[ z_2 = 2 \text{cis} \left( \frac{\pi + 2 \cdot 2 \cdot \pi}{3} \right) = 2 \text{cis} \left( \frac{\pi + 4\pi}{3} \right) = 2 \text{cis} \left( \frac{5\pi}{3} \right) \] Assim, as raízes são: - \( z_0 = 2 \text{cis} \frac{\pi}{3} \) - \( z_1 = -2 \) - \( z_2 = 2 \text{cis} \frac{5\pi}{3} \) Portanto, a resposta correta para a equação \( z^3 + 8 = 0 \) é a) -2.