Problema 21: Calcule a integral \int_0^1 (2x^3 + 3x^2) \, dx. a) \frac{5}{4} b) \frac{1}{2} c) \frac{7}{12} d) \frac{2}{5}

Para calcular a integral \(\int_0^1 (2x^3 + 3x^2) \, dx\), vamos resolver passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada: - A antiderivada de \(2x^3\) é \(\frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4\). - A antiderivada de \(3x^2\) é \(\frac{3}{3}x^3 = x^3\). Portanto, a antiderivada de \(2x^3 + 3x^2\) é \(\frac{1}{2}x^4 + x^3\). 2. Avaliar a integral definida: - Agora, avaliamos de \(0\) a \(1\): \[ \left[\frac{1}{2}x^4 + x^3\right]_0^1 = \left(\frac{1}{2}(1)^4 + (1)^3\right) - \left(\frac{1}{2}(0)^4 + (0)^3\right) \] \[ = \left(\frac{1}{2} + 1\right) - 0 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2} \] 3. Verificar as alternativas: - Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado \(\frac{3}{2}\). Vamos revisar a integral: - A integral correta é \(\int_0^1 (2x^3 + 3x^2) \, dx = \frac{3}{2}\). Parece que houve um erro nas alternativas apresentadas, pois o resultado correto não está listado. Se precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!