Para resolver a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx\), podemos fazer uma substituição. Note que \(4\) pode ser escrito como \(2^2\), então podemos reescrever a integral como: \[ \int \frac{1}{x^2 + 2^2} \, dx \] A integral da forma \(\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx\) é conhecida e resulta em: \[ \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \] Neste caso, \(a = 2\). Portanto, a integral se torna: \[ \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \] Analisando as alternativas: a) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) - Correta. b) \(\tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. c) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. d) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\).