Problema 23: Calcule o limite lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}. a) 1 b) 0 c) \infty d) -1

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que a forma é indeterminada \( \frac{0}{0} \) quando \( x \) se aproxima de 0. 1. Derivamos o numerador e o denominador: - A derivada de \(\ln(1 + x)\) é \(\frac{1}{1 + x}\). - A derivada de \(x\) é \(1\). 2. Aplicando a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{1 + 0} = 1. \] Portanto, o limite é \(1\). A alternativa correta é: a) 1.