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Sobre o conceito de espaço amostral e de evento: a. Defina os dois conceitos. b. Qual o espaço amostral do experimento de se lançar três moedas?

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Uma renomada firma de consultoria possui um modelo de previsão de recessões. Esse prevê corretamente uma recessão com probabilidade de 80% quando ela realmente está vindo e com probabilidade de 10% quando ela não está vindo. A probabilidade não condicional de a economia passar por uma recessão é de 20%. Se o modelo prevê uma recessão, qual a probabilidade (aproximada) de que ela realmente esteja vindo?

Sejam A e B eventos de um espaço amostral. Sabe-se que P(A) = 0,3; P(B) = 0,7 e P A∩B = , . Verifique se as seguintes afirmativas são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta. a. A e B são mutuamente exclusivos; b. A e B são independentes; c. A e ¬B são independentes; d. A e ¬B são mutuamente exclusivos; e. A e ¬B são independentes.

Sobre variáveis aleatórias, responda: a. O que é uma variável aleatória? b. O que diferencia uma variável aleatória discreta e contínua? c. Qual a relação entre variável aleatória, espaço amostral e evento? d. Quais características uma medida de probabilidade deve apresentar?

Escreva as principais distribuições de probabilidade discretas e responda: a. Qual a relação entre a distribuição de Bernoulli e a Binomial? Para a validade dessa relação, é necessário supor independência? b. Qual a relação entre a distribuição de Bernoulli e a Geométrica? Para a validade dessa relação, é necessário supor independência? c. Qual a relação entre a distribuição Binomial e a de Poisson? Para a validade dessa relação, é necessário supor independência? d. O que é uma Função de Distribuição Acumulada?

Escreva as principais distribuições de probabilidade contínuas e responda: a. Quais as hipóteses necessárias para descrever uma variável aleatória por uma distribuição uniforme? b. O que significa dizer que a Distribuição Exponencial é sem memória? Ela é útil para descrever a vida humana? c. Qual a importância da Distribuição Normal? Quais são as suas principais características?

Uma central telefônica recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Supondo que as chamadas que chegam constituam uma distribuição de Poisson, qual é a probabilidade de: a. A central não receber nenhuma chamada em um minuto? b. A central receber no máximo 2 chamadas em 2 minutos?

A temperatura (normalizada) de um motor é uma variável aleatória com distribuição de probabilidade: f(x) = 1/θ e 0 caso contrário. Mostre que f(x) é uma FDP válida.

Sejam X, Y e Z três variáveis aleatórias. Julgue os itens a seguir: a. E[XY | Z] = E[X | Z]E[Y | Z]. b. E[X + Y] = E[X] + E[Y]. c. E[XY] = E[X]E[Y]. d. E[X] = E[Y]. e. Cov(X, Y) = E[XY] − E[X]E[Y]. f. E[X + c] = E[X] + c, onde c é uma constante. g. E[aX + b] = aE[X] + b, onde a e b são constantes. h. Var(X) = Var(aX + b), onde a e b são constantes.

Sejam X e Y duas variáveis aleatórias, enquanto a, b, c e d são quatro constantes diferentes de zero. Julgue as proposições: a. E[aX + b] = aE[X]. b. E[X − c] = E[X] + E[Y] − d; c. E[X + Y; a + b] = E[X] + E[Y] + c + d; d. E[XY + c; a + b] = E[XY];

Suponha que X e Y são uniformemente distribuídas no quadrado R = { (x, y) : a < x < b, c < y < d }. Mostre que X e Y são independentes e, consequentemente, não correlacionados.

Sobre os teoremas assimptóticos: a. Qual o significado de assimptótico? b. O que significa a desigualdade de Tchebycheff? c. Como a desigualdade de Tchebycheff está relacionada com uma das versões da Lei dos Grandes Números? d. O que é o Teorema Central do Limite? Você consegue justificar a importância da distribuição Normal para a Estatística?

Usando a desigualdade de Tchebycheff, calcule a probabilidade de que o valor de uma variável aleatória X com média μ e desvio padrão σ esteja contido no intervalo μ ± hσ, ou seja, P(|X − μ| < hσ), em que h é uma constante. Calcule essa probabilidade para h igual a 1, 2 e 3.

Utilizando a tabela da distribuição Normal padrão, calcule a probabilidade da variável aleatória X com média μ e desvio padrão σ estar contida no intervalo μ ± kσ, μ ± 2σ e μ ± 3σ.

Explique porque os resultados do exercício 17 diferem dos resultados do exercício 18. Ou seja, porque a probabilidade encontrada de P(X ± kσ) usando a desigualdade de Tchebycheff é diferente da encontrada usando a tabela da distribuição Normal.

Consulte a tabela da distribuição qui-quadrado para resolver os seguintes exercícios. a. Determine o valor de k tal que P(χ² < k) = α. b. Determine o valor de k tal que P(χ² < k) = β. c. Determine o valor de k tal que P(χ² > k) = γ. d. Determine o valor de k tal que P(χ² = k) = δ.

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Sobre variáveis aleatórias, responda: a. O que é uma variável aleatória? b. O que diferencia uma variável aleatória discreta e contínua? c. Qual a relação entre variável aleatória, espaço amostral e evento? d. Quais características uma medida de probabilidade deve apresentar?

Uma central telefônica recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Supondo que as chamadas que chegam constituam uma distribuição de Poisson, qual é a probabilidade de: a. A central não receber nenhuma chamada em um minuto? b. A central receber no máximo 2 chamadas em 2 minutos?

A temperatura (normalizada) de um motor é uma variável aleatória com distribuição de probabilidade: f(x) = 1/θ e 0 caso contrário. Mostre que f(x) é uma FDP válida.

Sejam X e Y duas variáveis aleatórias, enquanto a, b, c e d são quatro constantes diferentes de zero. Julgue as proposições: a. E[aX + b] = aE[X]. b. E[X − c] = E[X] + E[Y] − d; c. E[X + Y; a + b] = E[X] + E[Y] + c + d; d. E[XY + c; a + b] = E[XY];

Suponha que X e Y são uniformemente distribuídas no quadrado R = { (x, y) : a < x < b, c < y < d }. Mostre que X e Y são independentes e, consequentemente, não correlacionados.

Usando a desigualdade de Tchebycheff, calcule a probabilidade de que o valor de uma variável aleatória X com média μ e desvio padrão σ esteja contido no intervalo μ ± hσ, ou seja, P(|X − μ| < hσ), em que h é uma constante. Calcule essa probabilidade para h igual a 1, 2 e 3.

Utilizando a tabela da distribuição Normal padrão, calcule a probabilidade da variável aleatória X com média μ e desvio padrão σ estar contida no intervalo μ ± kσ, μ ± 2σ e μ ± 3σ.

Explique porque os resultados do exercício 17 diferem dos resultados do exercício 18. Ou seja, porque a probabilidade encontrada de P(X ± kσ) usando a desigualdade de Tchebycheff é diferente da encontrada usando a tabela da distribuição Normal.

Consulte a tabela da distribuição qui-quadrado para resolver os seguintes exercícios. a. Determine o valor de k tal que P(χ² < k) = α. b. Determine o valor de k tal que P(χ² < k) = β. c. Determine o valor de k tal que P(χ² > k) = γ. d. Determine o valor de k tal que P(χ² = k) = δ.

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