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Utilizando a tabela da distribuição Normal padrão, calcule a probabilidade da variável aleatória X com média μ e desvio padrão σ estar contida no intervalo μ ± kσ, μ ± 2σ e μ ± 3σ.

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Para calcular a probabilidade da variável aleatória \(X\) estar contida nos intervalos \(μ ± kσ\), \(μ ± 2σ\) e \(μ ± 3σ\) na distribuição normal padrão, podemos usar a regra empírica: 1. Intervalo \(μ ± kσ\): - Para \(k = 1\) (ou seja, \(μ ± 1σ\)): aproximadamente 68% da distribuição está contida nesse intervalo. - Para \(k = 2\) (ou seja, \(μ ± 2σ\)): aproximadamente 95% da distribuição está contida nesse intervalo. - Para \(k = 3\) (ou seja, \(μ ± 3σ\)): aproximadamente 99,7% da distribuição está contida nesse intervalo. Portanto, as probabilidades são: - \(P(μ - σ < X < μ + σ) \approx 68\%\) - \(P(μ - 2σ < X < μ + 2σ) \approx 95\%\) - \(P(μ - 3σ < X < μ + 3σ) \approx 99,7\%\) Esses valores são baseados na distribuição normal padrão e são muito úteis para entender a dispersão dos dados em torno da média.

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Sobre variáveis aleatórias, responda: a. O que é uma variável aleatória? b. O que diferencia uma variável aleatória discreta e contínua? c. Qual a relação entre variável aleatória, espaço amostral e evento? d. Quais características uma medida de probabilidade deve apresentar?

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Uma central telefônica recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Supondo que as chamadas que chegam constituam uma distribuição de Poisson, qual é a probabilidade de: a. A central não receber nenhuma chamada em um minuto? b. A central receber no máximo 2 chamadas em 2 minutos?

A temperatura (normalizada) de um motor é uma variável aleatória com distribuição de probabilidade: f(x) = 1/θ e 0 caso contrário. Mostre que f(x) é uma FDP válida.

Sejam X, Y e Z três variáveis aleatórias. Julgue os itens a seguir: a. E[XY | Z] = E[X | Z]E[Y | Z]. b. E[X + Y] = E[X] + E[Y]. c. E[XY] = E[X]E[Y]. d. E[X] = E[Y]. e. Cov(X, Y) = E[XY] − E[X]E[Y]. f. E[X + c] = E[X] + c, onde c é uma constante. g. E[aX + b] = aE[X] + b, onde a e b são constantes. h. Var(X) = Var(aX + b), onde a e b são constantes.

Sejam X e Y duas variáveis aleatórias, enquanto a, b, c e d são quatro constantes diferentes de zero. Julgue as proposições: a. E[aX + b] = aE[X]. b. E[X − c] = E[X] + E[Y] − d; c. E[X + Y; a + b] = E[X] + E[Y] + c + d; d. E[XY + c; a + b] = E[XY];

Suponha que X e Y são uniformemente distribuídas no quadrado R = { (x, y) : a < x < b, c < y < d }. Mostre que X e Y são independentes e, consequentemente, não correlacionados.

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Usando a desigualdade de Tchebycheff, calcule a probabilidade de que o valor de uma variável aleatória X com média μ e desvio padrão σ esteja contido no intervalo μ ± hσ, ou seja, P(|X − μ| < hσ), em que h é uma constante. Calcule essa probabilidade para h igual a 1, 2 e 3.

Explique porque os resultados do exercício 17 diferem dos resultados do exercício 18. Ou seja, porque a probabilidade encontrada de P(X ± kσ) usando a desigualdade de Tchebycheff é diferente da encontrada usando a tabela da distribuição Normal.

Consulte a tabela da distribuição qui-quadrado para resolver os seguintes exercícios. a. Determine o valor de k tal que P(χ² < k) = α. b. Determine o valor de k tal que P(χ² < k) = β. c. Determine o valor de k tal que P(χ² > k) = γ. d. Determine o valor de k tal que P(χ² = k) = δ.

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