07. (UFPE) Determine o polinômio com coeficientes reais p(x) = ax3 + bx2 + cx, tal que p(x + 1) – p(x) = 6x2 e indique a2 + b2 + c2.

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Para resolver a questão, vamos começar determinando o polinômio \( p(x) = ax^3 + bx^2 + cx \) e calcular \( p(x + 1) \). 1. Calcule \( p(x + 1) \): \[ p(x + 1) = a(x + 1)^3 + b(x + 1)^2 + c(x + 1) \] Expandindo: \[ = a(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + b(x^2 + 2x + 1) + c(x + 1) \] \[ = ax^3 + 3ax^2 + 3ax + a + bx^2 + 2bx + b + cx + c \] \[ = ax^3 + (3a + b)x^2 + (3a + 2b + c)x + (a + b + c) \] 2. Agora, calcule \( p(x + 1) - p(x) \): \[ p(x + 1) - p(x) = [ax^3 + (3a + b)x^2 + (3a + 2b + c)x + (a + b + c)] - [ax^3 + bx^2 + cx] \] Simplificando: \[ = (3a + b - b)x^2 + (3a + 2b + c - c)x + (a + b + c) \] \[ = 3ax^2 + (3a + 2b)x + (a + b + c) \] 3. Igualando a \( 6x^2 \): \[ 3ax^2 + (3a + 2b)x + (a + b + c) = 6x^2 \] Isso nos dá o seguinte sistema de equações: - \( 3a = 6 \) → \( a = 2 \) - \( 3a + 2b = 0 \) → \( 3(2) + 2b = 0 \) → \( 6 + 2b = 0 \) → \( 2b = -6 \) → \( b = -3 \) - \( a + b + c = 0 \) → \( 2 - 3 + c = 0 \) → \( c = 1 \) 4. Agora, temos os coeficientes: - \( a = 2 \) - \( b = -3 \) - \( c = 1 \) 5. Calcule \( a^2 + b^2 + c^2 \): \[ a^2 + b^2 + c^2 = 2^2 + (-3)^2 + 1^2 = 4 + 9 + 1 = 14 \] Portanto, a resposta é \( a^2 + b^2 + c^2 = 14 \).

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01. (UECE–2019) Considerando o polinômio P(x) = 4x3 + 8x2 + x + 1, é correto afirmar que o valor da soma P(−1) + P(−1/3) é um número localizado entre:

A) 5,0 e 5,5.
B) 4,0 e 4,5.
C) 4,5 e 5,0.
D) 5,5 e 6,0.

02. (UEG–2016) Na divisão do polinômio 6x4 –2x3 – 8x2 + 10x – 2 pelo divisor x2 + 3x – 2, o resto multiplicado por 2 é:

A) –222x2 + 252
B) 444x2 + 252
C) –444x2 + 252
D) 222x + 252
E) –444x2 – 252

03. (UERN–2015) Divisor: x2 + x; Resto: 1 – 7x; e Quociente: 8x2 – 8x + 12. Logo, o dividendo dessa operação é:

A) 8x4 + 4x2 + 5x + 1
B) 6x4 + 4x2 + 4x + 3
C) 8x4 + 4x2 + 4x + 1
D) 6x4 + 8x2 + 5x + 1

04. (UPF-RS–2015) Se o polinômio P(x) = x4 – 2x2 + mx + p é divisível por D(x) = x2 + 1, o valor de m – p é:

A) –3.
B) –1.
C) 0.
D) 2.
E) 3.

05. (PUC RS–2017) Os polinômios p(x), q(x), f(x), h(x) em £, nessa ordem, estão com seus graus em progressão geométrica. Os graus de p(x) e h(x) são, respectivamente, 16 e 2. A soma do número de raízes de q(x) com o número de raízes de f(x) é:

A) 24.
B) 16.
C) 12.
D) 8.
E) 4.

06. (UFMG) Sejam p(x) = ax2 + (a – 15)x + 1 e q(x) = 2x2 – 3x + 1 polinômios com coeficientes reais. Sabe-se que esses polinômios possuem as mesmas raízes. Então, é correto afirmar que o valor de a + b é:

A) 3.
B) 6.
C) 9.
D) 12.

07. (UECE–2015) Se a expressão algébrica x2 + 9 se escreve identicamente como a(x + 1)2 + b(x + 1) + c, em que a, b e c são números reais, então o valor de a – b + c é:

A) 9.
B) 10.
C) 12.
D) 13.

08. (UFJF-MG–2017) Qual é o polinômio que, ao ser multiplicado por g(x) = 3x3 + 2x2 + 5x – 4, tem como resultado o polinômio h(x) = 3x6 + 11x5 + 8x4 + 9x3 –17x2 + 4x?

A) x3 + x2 + x
B) x3 + x2 – x
C) x3 + 3x2 + x
D) x3 + 3x2 + 2x
E) x3 + 3x2 – x

01. (PUCPR–2015) Se (x – 2) é um fator do polinômio x3 + kx2 + 12x – 8, então, o valor de k é igual a:

A) –3.
B) 2.
C) 3.
D) 6.
E) –6.

02. (UDESC) Sejam q(x) e r(x), respectivamente, o quociente e o resto da divisão de f(x) = 6x4 – x3 – 9x2 – 3x + 7 por g(x)= 2x2 + x + 1. O produto entre todas as raízes de q(x) e r(x) é igual a:

A) –7/3.
B) 3.
C) 3/5.
D) 5.
E) 5/3.

Matemática

07. (UFPE) Determine o polinômio com coeficientes reais p(x) = ax3 + bx2 + cx, tal que p(x + 1) – p(x) = 6x2 e indique a2 + b2 + c2.

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A) –222x2 + 252
B) 444x2 + 252
C) –444x2 + 252
D) 222x + 252
E) –444x2 – 252

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B) 6x4 + 4x2 + 4x + 3
C) 8x4 + 4x2 + 4x + 1
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04. (UPF-RS–2015) Se o polinômio P(x) = x4 – 2x2 + mx + p é divisível por D(x) = x2 + 1, o valor de m – p é:

A) –3.
B) –1.
C) 0.
D) 2.
E) 3.

05. (PUC RS–2017) Os polinômios p(x), q(x), f(x), h(x) em £, nessa ordem, estão com seus graus em progressão geométrica. Os graus de p(x) e h(x) são, respectivamente, 16 e 2. A soma do número de raízes de q(x) com o número de raízes de f(x) é:

A) 24.
B) 16.
C) 12.
D) 8.
E) 4.

06. (UFMG) Sejam p(x) = ax2 + (a – 15)x + 1 e q(x) = 2x2 – 3x + 1 polinômios com coeficientes reais. Sabe-se que esses polinômios possuem as mesmas raízes. Então, é correto afirmar que o valor de a + b é:

A) 3.
B) 6.
C) 9.
D) 12.

07. (UECE–2015) Se a expressão algébrica x2 + 9 se escreve identicamente como a(x + 1)2 + b(x + 1) + c, em que a, b e c são números reais, então o valor de a – b + c é:

A) 9.
B) 10.
C) 12.
D) 13.

08. (UFJF-MG–2017) Qual é o polinômio que, ao ser multiplicado por g(x) = 3x3 + 2x2 + 5x – 4, tem como resultado o polinômio h(x) = 3x6 + 11x5 + 8x4 + 9x3 –17x2 + 4x?

A) x3 + x2 + x
B) x3 + x2 – x
C) x3 + 3x2 + x
D) x3 + 3x2 + 2x
E) x3 + 3x2 – x

01. (PUCPR–2015) Se (x – 2) é um fator do polinômio x3 + kx2 + 12x – 8, então, o valor de k é igual a:

A) –3.
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C) 3.
D) 6.
E) –6.

02. (UDESC) Sejam q(x) e r(x), respectivamente, o quociente e o resto da divisão de f(x) = 6x4 – x3 – 9x2 – 3x + 7 por g(x)= 2x2 + x + 1. O produto entre todas as raízes de q(x) e r(x) é igual a:

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01. (UECE–2019) Considerando o polinômio P(x) = 4x3 + 8x2 + x + 1, é correto afirmar que o valor da soma P(−1) + P(−1/3) é um número localizado entre:A) 5,0 e 5,5.B) 4,0 e 4,5.C) 4,5 e 5,0.D) 5,5 e 6,0.

02. (UEG–2016) Na divisão do polinômio 6x4 –2x3 – 8x2 + 10x – 2 pelo divisor x2 + 3x – 2, o resto multiplicado por 2 é:A) –222x2 + 252B) 444x2 + 252C) –444x2 + 252D) 222x + 252E) –444x2 – 252

03. (UERN–2015) Divisor: x2 + x; Resto: 1 – 7x; e Quociente: 8x2 – 8x + 12. Logo, o dividendo dessa operação é:A) 8x4 + 4x2 + 5x + 1B) 6x4 + 4x2 + 4x + 3C) 8x4 + 4x2 + 4x + 1D) 6x4 + 8x2 + 5x + 1

04. (UPF-RS–2015) Se o polinômio P(x) = x4 – 2x2 + mx + p é divisível por D(x) = x2 + 1, o valor de m – p é:A) –3.B) –1.C) 0.D) 2.E) 3.

05. (PUC RS–2017) Os polinômios p(x), q(x), f(x), h(x) em £, nessa ordem, estão com seus graus em progressão geométrica. Os graus de p(x) e h(x) são, respectivamente, 16 e 2. A soma do número de raízes de q(x) com o número de raízes de f(x) é:A) 24.B) 16.C) 12.D) 8.E) 4.

06. (UFMG) Sejam p(x) = ax2 + (a – 15)x + 1 e q(x) = 2x2 – 3x + 1 polinômios com coeficientes reais. Sabe-se que esses polinômios possuem as mesmas raízes. Então, é correto afirmar que o valor de a + b é:A) 3.B) 6.C) 9.D) 12.

07. (UECE–2015) Se a expressão algébrica x2 + 9 se escreve identicamente como a(x + 1)2 + b(x + 1) + c, em que a, b e c são números reais, então o valor de a – b + c é:A) 9.B) 10.C) 12.D) 13.

08. (UFJF-MG–2017) Qual é o polinômio que, ao ser multiplicado por g(x) = 3x3 + 2x2 + 5x – 4, tem como resultado o polinômio h(x) = 3x6 + 11x5 + 8x4 + 9x3 –17x2 + 4x?A) x3 + x2 + xB) x3 + x2 – xC) x3 + 3x2 + xD) x3 + 3x2 + 2xE) x3 + 3x2 – x

01. (PUCPR–2015) Se (x – 2) é um fator do polinômio x3 + kx2 + 12x – 8, então, o valor de k é igual a:A) –3.B) 2.C) 3.D) 6.E) –6.

02. (UDESC) Sejam q(x) e r(x), respectivamente, o quociente e o resto da divisão de f(x) = 6x4 – x3 – 9x2 – 3x + 7 por g(x)= 2x2 + x + 1. O produto entre todas as raízes de q(x) e r(x) é igual a:A) –7/3.B) 3.C) 3/5.D) 5.E) 5/3.

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A) 5,0 e 5,5.
B) 4,0 e 4,5.
C) 4,5 e 5,0.
D) 5,5 e 6,0.

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A) –222x2 + 252
B) 444x2 + 252
C) –444x2 + 252
D) 222x + 252
E) –444x2 – 252

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A) 8x4 + 4x2 + 5x + 1
B) 6x4 + 4x2 + 4x + 3
C) 8x4 + 4x2 + 4x + 1
D) 6x4 + 8x2 + 5x + 1

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A) –3.
B) –1.
C) 0.
D) 2.
E) 3.

05. (PUC RS–2017) Os polinômios p(x), q(x), f(x), h(x) em £, nessa ordem, estão com seus graus em progressão geométrica. Os graus de p(x) e h(x) são, respectivamente, 16 e 2. A soma do número de raízes de q(x) com o número de raízes de f(x) é:

A) 24.
B) 16.
C) 12.
D) 8.
E) 4.

06. (UFMG) Sejam p(x) = ax2 + (a – 15)x + 1 e q(x) = 2x2 – 3x + 1 polinômios com coeficientes reais. Sabe-se que esses polinômios possuem as mesmas raízes. Então, é correto afirmar que o valor de a + b é:

A) 3.
B) 6.
C) 9.
D) 12.

07. (UECE–2015) Se a expressão algébrica x2 + 9 se escreve identicamente como a(x + 1)2 + b(x + 1) + c, em que a, b e c são números reais, então o valor de a – b + c é:

A) 9.
B) 10.
C) 12.
D) 13.

08. (UFJF-MG–2017) Qual é o polinômio que, ao ser multiplicado por g(x) = 3x3 + 2x2 + 5x – 4, tem como resultado o polinômio h(x) = 3x6 + 11x5 + 8x4 + 9x3 –17x2 + 4x?

A) x3 + x2 + x
B) x3 + x2 – x
C) x3 + 3x2 + x
D) x3 + 3x2 + 2x
E) x3 + 3x2 – x

01. (PUCPR–2015) Se (x – 2) é um fator do polinômio x3 + kx2 + 12x – 8, então, o valor de k é igual a:

A) –3.
B) 2.
C) 3.
D) 6.
E) –6.

02. (UDESC) Sejam q(x) e r(x), respectivamente, o quociente e o resto da divisão de f(x) = 6x4 – x3 – 9x2 – 3x + 7 por g(x)= 2x2 + x + 1. O produto entre todas as raízes de q(x) e r(x) é igual a:

A) –7/3.
B) 3.
C) 3/5.
D) 5.
E) 5/3.