Grátis: A respeito de um espaço vetorial V, assinale as alternativas que expressam afirmacoes. a. Se u+v=0, então u=-v. b. Se u = v ∈ V, então u-αv=0, par... – Questões Respondidas

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A respeito de um espaço vetorial V, assinale as alternativas que expressam afirmacoes.

a. Se u+v=0, então u=-v.
b. Se u = v ∈ V, então u-αv=0, para qualquer α ∈ R.
c. Se O é o vetor nulo, então αO=O, para qualquer escalar α ∈ R.
d. Para quaisquer v∈V e α ∈ R, tem-se (-α)v =-(αv).

Estudo Através de Questões

há 2 anos

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Avaliação de Espaços Vetoriais

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Respostas

Ed

há 2 anos

Vamos analisar cada uma das alternativas sobre o espaço vetorial \( V \): a) Se \( u + v = 0 \), então \( u = -v \). Verdadeiro. Esta é uma propriedade básica de vetores, onde a soma de um vetor e seu oposto resulta no vetor nulo. b) Se \( u = v \in V \), então \( u - \alpha v = 0 \), para qualquer \( \alpha \in \mathbb{R} \). Falso. Se \( u = v \), então \( u - \alpha v = u - \alpha u = (1 - \alpha)u \). Isso só será zero se \( \alpha = 1 \) ou \( u \) for o vetor nulo. c) Se \( O \) é o vetor nulo, então \( \alpha O = O \), para qualquer escalar \( \alpha \in \mathbb{R} \). Verdadeiro. Multiplicar o vetor nulo por qualquer escalar sempre resulta no vetor nulo. d) Para quaisquer \( v \in V \) e \( \alpha \in \mathbb{R} \), tem-se \( (-\alpha)v = -(\alpha v) \). Verdadeiro. Esta é uma propriedade da multiplicação escalar em espaços vetoriais. Portanto, as alternativas que expressam afirmações verdadeiras são: a, c e d.

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Qual das frases abaixo apresenta uma definição de base de um espaço vetorial?

a. É um subconjunto de vetores linearmente independentes que gera todo o espaço.
b. É um subconjunto de vetores que geram todo o espaço.
c. É um conjunto de vetores linearmente dependentes.
d. É um conjunto de vetores linearmente independentes.

A respeito do espaço vetorial C, de todas as funções contínuas, indique qual a afirmação, dentre as apresentadas abaixo.

1. C não possui nenhum subespaço vetorial.
2. O conjunto é um subespaço vetorial de C.
3. A dimensão de C é igual a 1.
4. O conjunto {f (x) = cos x, g (x) = sin x} é linearmente independente em C.

Sejam U e V subespaços vetoriais de um espaço vetorial W. Se a dimensão de U é igual a m e a dimensão de V é igual a n, então é afirmar que (apenas uma alternativa):

a. A dimensão do subespaço é igual a dimensão de V.
b. Se ={0}, então a dimensão de é igual a m+n.
c. A dimensão do subespaço soma é igual a m+n.
d. A dimensão de U deve ser igual a dimensão de V.

Qual a dimensão do subespaço vetorial U, de R^3, formado pela combinação linear dos vetores u_1=(1,0,0), u_2(2,0,0) e u_3=(-1,0,1)?

a. A dimensão de U é igual a 1.
b. A dimensão de U é igual a 3.
c. A dimensão de U é igual a 0.
d. A dimensão de U é igual a 2.

Sobre a teoria dos espaços e subespaços vetoriais, assinale as alternativas que apresentam afirmacoes.

a. Para que um subconjunto W de um espaço vetorial V seja um subespaço vetorial, é necessário e suficiente que 0 ∈ W e que u+ α v ∈ W, sempre que u,v ∈ V e α ∈ R.
b. Se V é um espaço vetorial, então todo subconjunto não vazio de V é um subespaço vetorial.
c. Se V é um espaço vetorial, com O_V ∈ V o seu vetor nulo, então O_V ∈ W para qualquer subespaço vetorial W de V.
d. Se V é um espaço vetorial e v ∈ V é um vetor não nulo, então o subconjunto { α v ∈ V ; α ∈ R} é um subespaço vetorial de V.

No espaço vetorial V=M_{2x2}(R), das matrizes reais quadradas de ordem 2, munido das operações usuais, é afirmar apenas que:

a. O subconjunto formado por todas as matrizes da forma A = (1 & y \ 0 & 0) , y ∈ R constitui um subespaço vetorial de V.
b. O subconjunto formado por todas as matrizes da forma B = (x & 0 \ 0 & y), x,y ∈ R constitui um subespaço vetorial de V.
c. O subconjunto formado por todas as matrizes da forma C = (0 & 1 \ x & 1) constitui um subespaço vetorial de V.
d. O subconjunto formado por todas as matrizes da forma D = (0 & x \ 0 & y).

A respeito da relação entre a dimensão de um espaço vetorial e o número de elementos em uma base, assinale a alternativa abaixo que corresponde a uma afirmação verdadeira (somente uma alternativa).

a. A dimensão é sempre menor que o número de elementos de uma base.
b. A dimensão de um espaço depende da base escolhida.
c. A dimensão é igual ao número de elementos de uma base.
d. Não há qualquer relação entre a dimensão e o número de elementos em uma base.

Sobre a teoria dos espaços e subespaços vetoriais, assinale que apresentam afirmações.

a. A união de dois subespaços vetoriais de um mesmo espaço é ainda um subespaço vetorial.
b. A interseção de dois subespaços vetoriais de um mesmo espaço é ainda um subespaço vetorial.
c. O subconjunto constituído apenas pelo vetor nulo de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial deste espaço.
d. Seja S um subconjunto de um espaço vetorial V. Então S^{-1} é um subespaço vetorial de V, onde S^{-1}={-u ; u∈S}.