Para analisar o comportamento assintótico da função \( f(x) = \tan(x) \) conforme \( x \) tende a \( \frac{\pi}{2} \), precisamos considerar o que acontece com a tangente nesse ponto. A função tangente é definida como \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \). Quando \( x \) se aproxima de \( \frac{\pi}{2} \), o cosseno de \( x \) se aproxima de zero, o que faz com que a tangente tenda ao infinito positivo ou negativo, dependendo da direção pela qual \( x \) se aproxima de \( \frac{\pi}{2} \). Isso indica que existe uma assintota vertical em \( x = \frac{\pi}{2} \). Além disso, a função não é contínua em \( x = \frac{\pi}{2} \) porque não está definida nesse ponto (a tangente não existe quando o cosseno é zero). Analisando as alternativas: A) Assintota vertical em \( \frac{\pi}{2} \) e é contínua - Incorreta, pois não é contínua. B) Assintota horizontal em \( \frac{\pi}{2} \) e não é contínua - Incorreta, pois é uma assintota vertical, não horizontal. C) Não possui assintotas - Incorreta, pois possui uma assintota vertical. D) Assintota vertical em \( \frac{\pi}{2} \) e não é contínua - Correta, pois descreve corretamente o comportamento da função. Portanto, a alternativa correta é: D) Assintota vertical em \( \frac{\pi}{2} \) e não é contínua.