Para determinar o valor de \( x \) que maximiza a função \( f(x) = x^2 e^{-x} \), precisamos encontrar a derivada da função e igualá-la a zero para encontrar os pontos críticos. 1. Derivada da função: Usando a regra do produto, temos: \[ f'(x) = (2x e^{-x}) + (x^2 \cdot -e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) \] 2. Igualando a derivada a zero: \[ e^{-x}(2x - x^2) = 0 \] Como \( e^{-x} \) nunca é zero, precisamos resolver: \[ 2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0 \] Portanto, os pontos críticos são \( x = 0 \) e \( x = 2 \). 3. Análise da natureza dos pontos críticos: Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, podemos usar a segunda derivada ou a análise do sinal da primeira derivada. - Para \( x = 0 \): \[ f'(x) \text{ muda de positivo para negativo, então é um máximo.} \] - Para \( x = 2 \): \[ f'(x) \text{ muda de positivo para negativo, então é um máximo.} \] 4. Verificando as opções: - A) \( x = 0 \) é um máximo - Correto. - B) \( x = 2 \) é um máximo - Correto. - C) \( x = 1 \) é um mínimo - Incorreto. - D) \( x = 3 \) é um máximo - Incorreto. Portanto, as alternativas A e B estão corretas, mas como a pergunta pede um único valor que maximiza a função, a resposta mais comum é a que se refere ao ponto crítico mais relevante, que é: A) \( x = 2 \) é um máximo.