Para determinar a concavidade da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \), precisamos calcular a segunda derivada da função. 1. Primeira derivada: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1} \] 2. Segunda derivada: Para encontrar a segunda derivada, aplicamos a regra do quociente: \[ f''(x) = \frac{(x^2 + 1)(2) - (2x)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(x^2 + 1 - 2x^2)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2} \] Agora, analisamos a segunda derivada \( f''(x) \): - \( f''(x) > 0 \) quando \( 1 - x^2 > 0 \) (ou seja, \( -1 < x < 1 \)), indicando que a função é côncava para cima nesse intervalo. - \( f''(x) < 0 \) quando \( 1 - x^2 < 0 \) (ou seja, \( x < -1 \) ou \( x > 1 \)), indicando que a função é côncava para baixo fora desse intervalo. Agora, sobre a natureza dos pontos críticos: - A primeira derivada \( f'(x) = 0 \) quando \( x = 0 \). Esse é um ponto crítico. - Para \( x = 0 \), a segunda derivada \( f''(0) = 2 > 0 \), indicando que é um ponto de mínimo. Analisando as alternativas: A) Côncava para cima - Correto para \( -1 < x < 1 \). B) Côncava para baixo - Correto para \( x < -1 \) ou \( x > 1 \). C) Não possui pontos críticos - Incorreto, pois possui um ponto crítico em \( x = 0 \). D) É linear - Incorreto, pois a função não é linear. Portanto, a resposta correta é: A) Côncava para cima.