Qual é a integral \( \int_0^1 x \sin(x) \, dx \)? a) \( \sin(1) \) b) \( -\cos(1) + 1 \) c) \( 1 \) d) \( 0 \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 x \sin(x) \, dx \), podemos usar a técnica de integração por partes. Vamos definir: - \( u = x \) e \( dv = \sin(x) \, dx \) - Então, \( du = dx \) e \( v = -\cos(x) \) Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo os valores: \[ \int_0^1 x \sin(x) \, dx = \left[ -x \cos(x) \right]_0^1 + \int_0^1 \cos(x) \, dx \] Calculando \( \left[ -x \cos(x) \right]_0^1 \): \[ \left[ -x \cos(x) \right]_0^1 = -1 \cdot \cos(1) - 0 \cdot \cos(0) = -\cos(1) \] Agora, calculamos \( \int_0^1 \cos(x) \, dx \): \[ \int_0^1 \cos(x) \, dx = \left[ \sin(x) \right]_0^1 = \sin(1) - \sin(0) = \sin(1) \] Portanto, juntando tudo: \[ \int_0^1 x \sin(x) \, dx = -\cos(1) + \sin(1) \] Agora, analisando as alternativas: a) \( \sin(1) \) - Não é a resposta correta. b) \( -\cos(1) + 1 \) - Não é a resposta correta. c) \( 1 \) - Não é a resposta correta. d) \( 0 \) - Não é a resposta correta. Nenhuma das alternativas parece corresponder ao resultado que encontramos. No entanto, se considerarmos que a integral é \( -\cos(1) + \sin(1) \), a alternativa mais próxima que poderia ser considerada correta, se houvesse um erro de digitação, seria a b) \( -\cos(1) + 1 \), mas isso não é exato. Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas.