Para determinar se uma função contínua \( f \) possui raiz em um intervalo \([a, b]\), devemos considerar o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema afirma que se \( f \) é contínua em \([a, b]\) e \( f(a) \) e \( f(b) \) têm sinais opostos, então existe pelo menos um ponto \( c \) em \((a, b)\) tal que \( f(c) = 0 \). Vamos analisar as alternativas: A) \( f(a) = f(b) \) - Isso não garante que haja uma raiz, pois \( f(a) \) e \( f(b) \) podem ser iguais a zero, mas não necessariamente. B) \( f' (a) \) ou \( f' (b) \) nulos - A derivada ser nula não implica que haja uma raiz no intervalo. C) \( f(a) \) e \( f(b) \) com mesmo sinal - Se ambos têm o mesmo sinal, não podemos garantir a existência de uma raiz. D) \( f(a) \) e \( f(b) \) com sinais trocados - Esta é a condição correta, pois se \( f(a) \) e \( f(b) \) têm sinais opostos, então, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um \( c \) tal que \( f(c) = 0 \). Portanto, a alternativa correta é: D) \( f(a) \) e \( f(b) \) com sinais trocados.