Para encontrar a derivada parcial \( \frac{\partial z}{\partial x} \) da função implícita dada pela equação \( xy + z^3 x - 2yz = 0 \), vamos derivar ambos os lados da equação em relação a \( x \). 1. Derivando a equação: \[ \frac{\partial}{\partial x}(xy) + \frac{\partial}{\partial x}(z^3 x) - \frac{\partial}{\partial x}(2yz) = 0 \] 2. Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia: - Para \( xy \): \( y \) - Para \( z^3 x \): \( 3z^2 \frac{\partial z}{\partial x} x + z^3 \) - Para \( 2yz \): \( 2y \frac{\partial z}{\partial x} \) 3. Substituindo na equação: \[ y + (3z^2 x \frac{\partial z}{\partial x} + z^3) - 2y \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \] 4. Reorganizando a equação: \[ 3z^2 x \frac{\partial z}{\partial x} - 2y \frac{\partial z}{\partial x} + y + z^3 = 0 \] 5. Fatorando \( \frac{\partial z}{\partial x} \): \[ \left(3z^2 x - 2y\right) \frac{\partial z}{\partial x} + y + z^3 = 0 \] 6. Isolando \( \frac{\partial z}{\partial x} \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y + z^3}{3z^2 x - 2y} \] Assim, a derivada parcial \( \frac{\partial z}{\partial x} \) é dada por: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y + z^3}{3z^2 x - 2y} \]