Para determinar o volume da região delimitada pela curva \( y = -x^2 + 1 \) quando rotacionada em torno do eixo \( y \), precisamos usar o método dos discos ou anéis. A fórmula geral para o volume \( V \) ao rotacionar em torno do eixo \( y \) é: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(y)]^2 \, dy \] onde \( f(y) \) é a função que descreve a curva em termos de \( y \). A curva \( y = -x^2 + 1 \) pode ser rearranjada para \( x^2 = 1 - y \), ou seja, \( x = \sqrt{1 - y} \) e \( x = -\sqrt{1 - y} \). Assim, a função que precisamos integrar para calcular o volume é \( \sqrt{1 - y} \). A região de integração para \( y \) vai de \( 0 \) a \( 1 \) (já que a curva intercepta o eixo \( y \) nesses pontos). Portanto, a integral que representa o volume é: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (1 - y) \, dy \] Analisando as alternativas: 1. \( V = \pi \int_{-1}^{1} (1 - y) \, dy \) - Não está correta, pois os limites de integração estão errados. 2. \( V = \int_{-1}^{1} (1 - y) \, dy \) - Também não está correta, pois não inclui o fator \( \pi \). 3. \( V = \pi \int_{-1}^{1} (1 - y) \, dy \) - Novamente, os limites de integração estão errados. 4. \( V = \pi \int_{-1}^{1} -x^2 + \frac{1}{2} \, dx \) - Não está correta, pois não representa a função correta para a rotação. 5. \( V = \int_{-1}^{1} (-x^2 + 1) \, dx \) - Não está correta, pois não inclui o fator \( \pi \) e os limites de integração não são adequados. Nenhuma das alternativas apresentadas parece estar correta para o cálculo do volume da região rotacionada em torno do eixo \( y \). Você pode precisar revisar as opções ou verificar se há um erro nas alternativas fornecidas.