Prova final - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

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Questão 1
Respondida
Considere que o custo para fabricação de dois produtos (x e y) é dado pela função:
Cx,y=x+y+1000
Com base nessa função, analise os itens que seguem.
I. O custo para se produzir 300 unidades do produto x e 600 unidades do produto y é de R$1900,00.
II. O domínio da função custo é dado por DC={(x,y)∈ℝ2|x>y.
III. O custo para se produzir 1000 unidades do produto x e 600 unidades do produto y é de R$1040,00.
Assinale a alternativa correta.
· Apenas o item I está correto.
· Apenas o item II está correto.
 
· Apenas o item III está correto.
· Apenas os itens I e II estão corretos.
· Apenas os itens I e III estão corretos.
Sua resposta
Apenas o item I está correto. errrooooo
O primeiro item está incorreto, pois o custo para se produzir 300 unidades do produto x e 600 unidades do produto y é de R$1030,00, conforme cálculo que segueCx,y=x+y+1000C300,600=300+600+1000C300,600=900+1000=30+1000=1030O segundo item está incorreto, pois para determinar o domínio temos que considerar que não existe raiz quadrada de número negativo, assim teríamos:x+y≥0x≥-yO terceiro item está correto, pois o custo para se produzir 1000 unidades do produto x e 600 unidades do produto y é de R$1040,00, conforme segueCx,y=x+y+1000C1000,600=1000+600+1000C300,600=1600+1000=40+1000=1040
Questão 2
Respondida
Em uma empresa têxtil uma máquina parou de funcionar. A taxa de variação do prejuízo (em reais) em função do tempo (em horas) em que a máquina fica parada é dada por:
dPdt=400(t+1)+40
Sabe-se que com a máquina funcionando não há prejuízo. Determine o prejuízo aproximado que gerará se a máquina ficar parada 8 horas.
Assinale a alternativa correta.
· Aproximadamente R$ 85,00.
· Aproximadamente R$ 550,00.
 
· Aproximadamente R$ 879,00.
· Aproximadamente R$ 1000,00.
· Aproximadamente R$ 1199,00.
Sua resposta
Aproximadamente R$ 1199,00.
Para encontrarmos a função custo, basta integrarmos a função dPdtAssim,Pt=∫400(t+1)+40dt=400ln⁡t+1+40t+KPara encontrarmos o valor de K utilizaremos a informação de que com a máquina funcionando não há prejuízo, ou seja,  t=0, P=0. Portanto,Pt=400ln⁡t+1+40t+KP0=400ln⁡0+1+40(0)+K=0→K=0Portanto, a função prejuízo éPt=400ln⁡t+1+40t.Para encontrarmos o prejuízo basta fazermos t=8 na função encontrada anteriormente.P8=400ln⁡8+1+408≈1199,00Portanto o prejuízo aproximado será de aproximadamente 1199,00.
Questão 3
Respondida
Além de contribuir para o cálculo da área de regiões sob curvas, as integrais de funções de uma variável real podem ser empregadas no cálculo de volumes de sólidos de rotação. Nesse processo, é essencial identificar a função a ser integrada e a região de integração. Deseja-se, portanto, determinar o volume da região R delimitada pela curva
y=-x2+1, 
y=0, y=1, y=-1
quando rotacionada em torno do eixo y.
Assinale a alternativa que indica corretamente a integral que deve ser empregada para o cálculo do volume do sólido em questão.
· V=π∫-11(1-y)dy
· V=∫-11(1-y)dy
· V=π∫-111-ydy
· V=π∫-11-x2+12dx
· V=∫-11(-x2+1)dx
Sua resposta
V=π∫-11(1-y)dy
Como temos uma rotação em torno do eixo y, temos que reescrever a função:y=-x2+1x2=1-yx=1-yAssim o volume será dado pela integralV=∫-11π1-y2dy=π∫-11(1-y)dy
Questão 4
Respondida
Uma das aplicações das integrais duplas é o cálculo da massa de placas bidimensionais. Quando temos uma placa com densidade de massa variável ao longo de sua superfície, podemos usar integrais duplas para encontrar a massa total da placa. Com base nessas informações, considere que o formato de uma chicana pode ser modelado como a região entre a parábola y = 4 – x2 e y = 0 a reta (em metros) considerando a densidade ρ = 4 kg/m3 qual a massa dessa chicana?
Assinale a alternativa que contém a massa dessa chicana.
· Aproximadamente 22,66 kg.
 
· Aproximadamente 42,66 kg.
· Aproximadamente 52,66 kg.
· Aproximadamente 85,33 kg.
· Aproximadamente 95,33 kg.
Sua resposta
Aproximadamente 42,66 kg.
A região de integração é dada porE pode ser descrita como:D=x,y-2≤x≤2, 0≤y≤4-x2A massa será dada por:M=∬Sδx,ydA=∫-22∫04-x24dydx=∫-224y04-x2dx=∫-2244-x2dx=16x-4x33-22==162-4233-16-2-4-233=32-323+32-323=1283≅42,66 kg
Questão 5
Respondida
A utilização do cálculo de integrais definidas desempenha um papel significativo na resolução de problemas relacionados às áreas sob curvas. A determinação dessas integrais envolve a consideração de propriedades específicas que facilitam a avaliação precisa dessas áreas. Com base nas propriedades das integrais definidas, analise os itens que seguem:
I.∫abkfxdx =k∫abfxdx
II.∫abfx+g(x)dx =∫abfxdx+∫bagxdx
III.∫abfx.g(x)dx =∫abfxdx . ∫abgxdx
Assinale a alternativa correta.
· Apenas o item I está correto.
· Apenas o item II está correto.
 
· Apenas os itens I e II estão corretos.
· Apenas os itens I e III estão corretos.
· Os itens I, II e III estão corretos.
Sua resposta
Apenas o item I está correto.
O item II está incorreto, pois o limite de integração da função g(x) está incorreto a propriedade correta é:∫abfx+g(x)dx =∫abfxdx+∫abgxdxO item III está incorreto pois não existe a propriedade para a multiplicação de integrais definidas. Logo, apenas o item I está correto.
Questão 6
Sem resposta
Diversas técnicas podem ser empregadas no estudo das integrais de funções de uma variável real, podendo inclusive serem adaptadas para as integrais duplas e triplas, de acordo com as características destas.
Considere a função de uma variável real definida por
fx=x21+2x35
Deseja-se calcular a integral definida da função f considerando os limites de integração correspondentes aos extremos do intervalo [0,1].
Assinale a alternativa que indica corretamente a função u(x) que deverá ser adotada para o emprego da substituição no cálculo desta integral.
· u(x) = 2x3
· u(x) = x2
 
· u(x) = (1+2x3)5
· u(x) = 2x
· u(x) = 1+2x3
Sua resposta
u(x) = 1+2x3
Para o cálculo da integral∫01x21+2x35dxé necessário empregar a substituição ux=1+2x3.
Questão 7
Sem resposta
Um morro possui a forma definido pelo gráfico da função
fx,y=100-4x2-5y2
Onde x, y são dados em metros. No ponto (10,20) um alpinista inicia a sua subida na direção do vetor u→=-12, -32.
Assinale a alternativa que contém a taxa de variação aproximada da distância percorrida na subida na direção do vetor u→.
· Duf10,20=40+1003.
· Duf10,20=-40+1003.
· Duf10,20=-40-1003.
· Duf10,20=40-1003.
· Duf10,20=140.
Sua resposta
Duf10,20=40-1003. errooooo
O primeiro passo é encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função:fx,y=100-4x2-5y2fx=-8xfy=-10Calculando essas derivadas no ponto (10,20) teremos:fx10,20=-810=-80fy10,20=-1020=-200Agora podemos calcular a derivada direcional:Duf10,20=-80-12-200-32Duf10,20=40+1003
Questão 8
Sem resposta
A determinação dos limites de integração é uma das etapas fundamentais para o cálculo da integral dupla de funções de duas variáveis reais. A respeito desse tema, analise as afirmações apresentadas a seguir.
I- A região de integração correspondente a ∫23∫02cos⁡(5x)dxdyé dada por
R={x,y∈ℝ2; 2≤x≤3, 0≤y≤2}
II - A região de integração correspondente a ∫-12∫12xexydydx é dada por
R={x,y∈ℝ2; -1≤x≤2, 1≤y≤2}
III - A região de integração correspondente a ∫03∫23x3sen⁡(2y)dxdy é dada por
R={x,y∈ℝ2; 2≤x≤3, 0≤y≤3}
Assinale a alternativa correta.
· Apenas o item II está correto.
 
· Apenas o item III está correto.
· Apenas os itens I e II estão corretos.
· Apenas os itens I e III estão corretos.
· Apenas os itens II e III estão corretos.
Sua resposta
Apenas os itens II e III estão corretos.
A região de integração correspondente a ∫23∫02cos⁡(5x)dxdy é dada porR={x,y∈ℝ2; 0≤x≤2, 2≤y≤3}A região de integração correspondente a ∫-12∫12xexydydx é dada porR={x,y∈ℝ2; -1≤x≤2, 1≤y≤2}A região de integração correspondente a ∫03∫23x3sen⁡(2y)dxdy é dada porR={x,y∈ℝ2; 2≤x≤3, 0≤y≤3}Assim, apenas os itens II e III estão corretos.
Questão 9
Sem resposta
Um foguete, inicialmente em repouso, foi projetado para que durante a primeira fase de lançamento acelere a uma taxa de 3et m/s2. Supondo que a primeira fase dure 4 segundos, determine a mudança de velocidade aproximada desse foguete ao final dessa fase.
Assinalea alternativa correta.
· 54,60 m/s.
 
· 63,79 m/s.
· 160,79 m/s.
· 166,79 m/s.
· 256,69 m/s.
Sua resposta
160,79 m/s.
Se a aceleração é dada por at=v'(t), então a mudança na velocidade será dada por∫t1t2a(t)dt=vt2-v(t1)Assim temos:v=∫043etdt=3et04=3e4-3e0=163,79-3=160,79
Questão 10
Sem resposta
Uma das etapas da reforma de uma sala de eventos, de formato circular, envolve a renovação das conexões presentes na instalação elétrica da mesma.
Nessa etapa, um arquiteto pretende instalar um lustre nessa sala de modo a melhorar a iluminação no local. Após estudos a respeito do formato da sala, esse profissional decidiu que o melhor local para instalação do lustre é o ponto de coordenadas A (2, 2).
Com base nessas informações, e sabendo que devido ao formato da sala, faz-se necessário adotar o sistema de coordenadas polares ao invés das cartesianas, assinale a alternativa que indica corretamente as coordenadas do ponto A em coordenadas polares, na forma A (r, θ).
· 2,π4
· 2,π4
· 22,-π4.
· -2,π4.
· 22,π4.
Sua resposta
22,π4.
Queremos identificar as coordenadas polares do ponto A(2, 2).Neste caso, temos que x = 2 e y = 2. Aplicando as relações envolvendo as variáveis x e y para a identificação das coordenadas polares r e θ obtemosr=x2+y2=22+22=4+4=8=22cos⁡θ=xr=222=12=22  →    θ=π4Portanto, as coordenadas polares do ponto A (2, 2) são dadas por 22,π4.
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