como calculo as equações tangente a reta na curva nesse caso?

a)Substituindo y=3 na eq da superfície, z= 2x² + 3² => z= 2x² +9 é a equação da curva em que o plano intercepta a superfície.

Derivando essa equação da curva, encontraremos: 4x que é a inclinação da reta tangente à curva. No ponto xo=2, a inclinação da reta tangente é 4.2 = 8

A equação da reta tangente é encontrada coma equação (z- zo) = m(x - xo) sendo m a inclinação da reta, e (xo,zo) o ponto da curva em que a reta é tangente, no caso é (2,11)(z=2.2²+9=11). Substituindo:

z-11 = 8(x-2)
z = 8x - 16 + 11
z = 8x - 5

b) Procedimento similar é feito.

z= 2x² + y² => z = 2.3² + y² => z= y² +18 é a curva em que o plano x=3 tange a superfície z.

Derivando, temos 2y => 2.3 = 6 que é a inclinação da reta tangente à curva no ponto y=3.

se yo=3, => zo= 3² + 18 => zo = 27

(z- zo) = m(x - xo)
z- 27 = 6(y - 3)
z = 6y - 18 +27
z = 6y +9

a)
\(\[\begin{align} & y=3: \\ & z=\text{ }2x{}^\text{2}\text{ }+\text{ }3{}^\text{2}\text{ } \\ & z=\text{ }2x{}^\text{2}\text{ }+9~ \\ & z'\text{ }=\text{ }4x \\ & {{x}_{0}}\text{ }2\text{ }=\text{ }8 \\ & \left( z-\text{ }{{z}_{0}} \right)\text{ }=\text{ }m.\left( x\text{ }-\text{ }{{x}_{0}} \right)\text{ } \\ & \left( 2,11 \right)\to \left( z=2.2{}^\text{2}+9=11 \right): \\ & z-11\text{ }=\text{ }8\left( x-2 \right) \\ & z\text{ }=\text{ }8x\text{ }-\text{ }16\text{ }+\text{ }11 \\ & \mathbf{z}\text{ }=\text{ }\mathbf{8x}\text{ }-\text{ }\mathbf{5} \\ \end{align}\] \)

b)
\(\[\begin{align} & z=\text{ }\left( 2x{}^\text{2}\text{ }+\text{ }y{}^\text{2} \right) \\ & z\text{ }=\text{ }2.3{}^\text{2}\text{ }+\text{ }y{}^\text{2}~ \\ & z=\text{ }y{}^\text{2}\text{ }+18\text{ } \\ & z'=\text{ }2y\text{ } \\ & 2.3\text{ }=\text{ }6\text{ } \\ & {{y}_{0}}=3 \\ & {{z}_{0}}=\text{ }3{}^\text{2}\text{ }+\text{ }18\text{ } \\ & {{z}_{0}}\text{ }=\text{ }27 \\ & \left( z-\text{ }{{z}_{0}} \right)\text{ }=\text{ }m\left( x\text{ }-\text{ }{{x}_{0}} \right) \\ & z-\text{ }27\text{ }=\text{ }6.\left( y\text{ }-\text{ }3 \right) \\ & z\text{ }=\text{ }6y\text{ }-\text{ }18\text{ }+27 \\ & z\text{ }=\text{ }6y\text{ }+9 \\ & \\ & \\ \end{align}\] \)