como calcular essa questão?integral passo a passo !! me ajudem

Para calcular a área da região, precisamos primeiro calcular em que pontos a função f(x) dada intercepta o eixo Ox. Para isso, igualamos a função a zero:


f(x) = 3x+1 = 0   -->   3x = -1  -->   [x = -1/3]


A função f(x) é crescente, pois o coeficiente angular da mesma é positiva. (Em uma função do primeiro grau, na forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais, a é denominado o coeficiente angular da reta e determina se a função é crescente ou decrescente. 'b' é denominado o coeficiente linear e indica o ponto (0,b) do gráfico, onde a reta intercepta o eixo y.)


Podemos, se quisermos, desenhar o gráfico da função f(x) = 3x+1:


http://www.bbc.co.uk/staticarchive/decc09eee0992979cdd751c8563380446a6f8834.gif


Olhando o gráfico, percebemos que a função fica abaixo do eixo Ox quando x < -1/3. Logo, podemos determinar como o ponto mínimo do intervalo que queremos calcular a integral para encontrar a área como [x = -1/3]. O ponto máximo do intervalo, que será o limite superior da integração, será o ponto x = 5, pois queremos a área delimitada pela reta x = 5.


Assim, podemos calcular a área da região como a integral da função f(x) no intervalo [-1/3 , 5].

Teremos:


∫ f(x) = ∫ (3x+1)              (Usando a propriedade que: ∫( g(x) + h(x) ) = ∫g(x) + ∫h(x) e

                                        considerando g(x) = 3x e h(x) = 1)

Teremos que:

∫(3x + 1)  =  ∫3x + ∫1

- A integral de a*(x^b) é igual a:  [a/(b+1)]*x^(b+1)

A fórmula escrita assim parece pior do que na prática! hahahaha

Na prática, para integrar, basta somar '1' à potência do x e dividir o número que multiplica o x pela nova potência do x. Exemplo: ∫x² = (x³)/3     e     ∫x  =  (x²)/2

Assim, teremos:

∫3x  =  (3/2)x²    e    ∫1  =   ∫1*(x^0)  =  x

Logo:

∫(3x + 1)  =  ∫3x + ∫1  =  (3/2)x² + x

Como temos que calcular a integral definida no intervalo [-1/3 , 5], teremos:

[(3/2)x² + x] (no intervalo [-1/3, 5 ])  =  { [ (3/2)(5)² + (5) ] - [ (3/2)(-1/3)² + (1/3) ] }

fazendo o restante dos cálculos, teremos o resultado final:

{ [ (3/2)(5)² + (5) ] - [ (3/2)(-1/3)² + (1/3) ] }  =  252/6  =  42

Esse é o resultado final. Espero que tenhas entendido tudo direito. Qualquer dúvida, pode perguntar. :)

E se gostou da resposta, dá um joinha aí e recomenda a resposta! =D

Valeu!

Neste exercício, será determinada a área \(A\) limitada por \(y = 3x+1\), \(x=-1\), \(x=5\) e \(y_0=0\) (eixo Ox). Ou seja, será calculada a seguinte integral:

\(\Longrightarrow A= \int \limits_a^b f(x) \space dx \)

Com \(a=-1\), \(b=5\), tem-se que:

\(\Longrightarrow A= \int \limits_{-1}^{5} f(x) \space dx \)

Essa área \(A\) se divide em 2 áreas: uma área \(A_1\) abaixo do eixo Ox e outra \(A_2\) acima do eixo Ox, conforme apresentado na figura a seguir:

Portanto, o valor de \(x_1\) de \(f(x) = 3x+1\) que cruza o eixo Ox é:

\(\Longrightarrow f(x_1) = 3x_1+1\)

\(\Longrightarrow 0=3x_1+1\)

\(\Longrightarrow -3x_1=1\)

\(\Longrightarrow x_1 = -{1 \over 3}\)

Como \(f(x)\) é uma função crescente, o intervalo de \(A_1\) é \(-1 \le x \le x_1\) e o intervalo de \(A_2\) é \(x_1 \le x \le 5\). Portanto, a expressão de \(A\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow A= \int \limits_{-1}^{5} f(x) \space dx \)

\(\Longrightarrow A= A_1 + A_2\)

\(\Longrightarrow A= \int \limits_{-1}^{x_1} \Big [y_0 - y \Big ] \space dx + \int \limits_{x_1}^{5} \Big [y - y_0 \Big ] \space dx \)

Com \(x_1 = -{1 \over 3}\), \(y = 3x+1\) e \(y_0=0\), o valor de \(A_1\) é:

\(\Longrightarrow A_1= \int \limits_{-1}^{x_1} \Big [y_0 - y \Big ] \space dx \)

\(\Longrightarrow A_1= \int \limits_{-1}^{-{1 \over 3}} \Big [0 - (3x+1) \Big ] \space dx \)

\(\Longrightarrow A_1= -\int \limits_{-1}^{-{1 \over 3}} (3x+1) \space dx \)

\(\Longrightarrow A_1= \int \limits_{-{1 \over 3}}^{-1} (3x+1) \space dx\)

\(\Longrightarrow A_1= \Big [ 3{x^2 \over 2}+x \Big ]\bigg |_{-{1 \over 3}}^{-1} \)

\(\Longrightarrow A_1= \Big [ 3{(-1)^2 \over 2}+(-1) \Big ] - \Big [ 3{(-{1 \over 3})^2 \over 2}+(-{1 \over 3}) \Big ]\)

\(\Longrightarrow A_1= \Big [ {1 \over 2} \Big ] - \Big [-{1 \over 6} \Big ]\)

\(\Longrightarrow A_1= {2 \over 3}\)

Com \(x_1 = -{1 \over 3}\), \(y = 3x+1\) e \(y_0=0\), o valor de \(A_2\) é:

\(\Longrightarrow A_2= \int \limits_{x_1}^{5} \Big [y - y_0 \Big ] \space dx \)

\(\Longrightarrow A_2= \int \limits_{-{1 \over 3}}^{5} \Big [(3x+1) - 0 \Big ] \space dx \)

\(\Longrightarrow A_2= \int \limits_{-{1 \over 3}}^{5} (3x+1) \space dx \)

\(\Longrightarrow A_2=\Big [ 3{x^2 \over 2}+x \Big ]\bigg |_{-{1 \over 3}}^{5}\)

\(\Longrightarrow A_2= \Big [ 3{(5)^2 \over 2}+(5) \Big ] - \Big [ 3{(-{1 \over 3})^2 \over 2}+(-{1 \over 3}) \Big ]\)

\(\Longrightarrow A_2= \Big [ 42,5 \Big ] - \Big [ -{1 \over 6} \Big ]\)

\(\Longrightarrow A_2= {128 \over 3}\)

Finalmente, o resultado final do exercício é:

\(\Longrightarrow A= A_1 + A_2\)

\(\Longrightarrow A= {2 \over 3} + {128 \over 3}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ A= {130 \over 3} $}\)