Para resolver a equação diferencial dada \( \frac{dy}{dx} = x^4 + 2x^2 + 3x \), precisamos integrar ambos os lados em relação a \( x \). A integral de \( \frac{dy}{dx} \) é simplesmente \( y \), e agora vamos integrar o lado direito: \[ y = \int (x^4 + 2x^2 + 3x) \, dx \] Calculando a integral: 1. A integral de \( x^4 \) é \( \frac{x^5}{5} \). 2. A integral de \( 2x^2 \) é \( \frac{2x^3}{3} \). 3. A integral de \( 3x \) é \( \frac{3x^2}{2} \). Portanto, a solução geral é: \[ y = \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C \] Agora, vamos analisar as alternativas: 1. \( y = x^3 + x + 3 + C \) - Incorreta. 2. \( y = \frac{x^5}{5} + \frac{x^3}{3} + C \) - Incorreta. 3. \( y = \frac{x^5}{5} + 3 + C \) - Incorreta. 4. \( y = \frac{x^3}{3} + 3 + C \) - Incorreta. 5. \( y = \frac{2x^3}{3} + C \) - Incorreta. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à solução correta que encontramos. Portanto, parece que a questão não possui uma resposta correta entre as opções dadas. Você pode precisar revisar as alternativas ou a formulação da questão.