A equação diferencial dada é \( y'' + 4y = 0 \). As soluções gerais dessa equação são combinações lineares de funções seno e cosseno, que, neste caso, são \( y = A \cos(2x) + B \sin(2x) \), onde \( A \) e \( B \) são constantes a serem determinadas. As funções \( Y = \cos(2x) \) e \( Y = 3\sin(2x) \) são soluções da equação, então podemos escrever a solução geral como: \[ y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \] Agora, precisamos aplicar as condições iniciais \( y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 4 \). 1. Para \( y(0) = 1 \): \[ y(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = C_1 \] Portanto, \( C_1 = 1 \). 2. Para \( y'(x) \): \[ y'(x) = -2C_1 \sin(2x) + 2C_2 \cos(2x) \] Agora, aplicando a condição \( y'(0) = 4 \): \[ y'(0) = -2C_1 \sin(0) + 2C_2 \cos(0) = 2C_2 \] Portanto, \( 2C_2 = 4 \) implica que \( C_2 = 2 \). Assim, a solução que atende às condições iniciais é: \[ y(x) = \cos(2x) + 2\sin(2x) \] Agora, analisando as alternativas: A) \( \cos(2x) - 2\sin(2x) \) B) \( -\cos(2x) + 3\sin(2x) \) C) \( \cos(2x) + 2\sin(2x) \) D) \( \cos(2x) + 2\sin(x) \) E) \( \cos(x) + \sin(x) \) A alternativa correta é a letra C: \( \cos(2x) + 2\sin(2x) \).