Para resolver a equação diferencial dada: \[ x \frac{dy}{dx} + (x + 1)y = 1 \] Podemos reescrever a equação na forma padrão: \[ \frac{dy}{dx} + \frac{x + 1}{x} y = \frac{1}{x} \] Identificamos que esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por: \[ \mu(x) = e^{\int \frac{x + 1}{x} dx} = e^{\int (1 + \frac{1}{x}) dx} = e^{x + \ln|x|} = x e^{x} \] Multiplicamos toda a equação pela fator integrante: \[ x e^{x} \frac{dy}{dx} + (x + 1) e^{x} y = e^{x} \] Agora, a equação pode ser reescrita como: \[ \frac{d}{dx}(y \cdot x e^{x}) = e^{x} \] Integrando ambos os lados: \[ y \cdot x e^{x} = e^{x} + C \] Portanto, isolando \(y\): \[ y = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x e^{x}} \] Agora, analisando as alternativas: A) \( y(x) = \frac{1}{x} + e^{x} \) - Não é a solução correta. B) \( y(x) = c e^{-x} \) - Não é a solução correta. C) \( y(x) = e^{-x} + c \) - Não é a solução correta. D) \( y(x) = \frac{c e^{-x}}{x} - \frac{1}{x} + 1 \) - Não é a solução correta. E) \( y(x) = c e^{-x} + \frac{1}{x} \) - Esta opção se aproxima da forma que encontramos. Portanto, a alternativa correta é: E) y(x) = c e^{-x} + \frac{1}{x}.