Para calcular a área da função \(\rho = \cos(2\theta)\) no intervalo \([0, \pi]\), precisamos usar a fórmula dada: \[ S = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} |f(\theta)|^{2} d\theta = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} \rho^{2} d\theta \] Substituindo \(\rho\) na fórmula, temos: \[ S = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} (\cos(2\theta))^{2} d\theta \] Agora, vamos calcular \((\cos(2\theta))^{2}\): \[ (\cos(2\theta))^{2} = \frac{1 + \cos(4\theta)}{2} \] Substituindo isso na integral, temos: \[ S = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \cos(4\theta)}{2} d\theta = \int_{0}^{\pi} \frac{1 + \cos(4\theta)}{4} d\theta \] Agora, podemos separar a integral: \[ S = \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi} 1 d\theta + \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi} \cos(4\theta) d\theta \] Calculando a primeira parte: \[ \int_{0}^{\pi} 1 d\theta = \pi \] E a segunda parte: \[ \int_{0}^{\pi} \cos(4\theta) d\theta = 0 \quad (\text{pois a integral de um cosseno completo em um período é zero}) \] Portanto, temos: \[ S = \frac{1}{4} \cdot \pi + \frac{1}{4} \cdot 0 = \frac{\pi}{4} \] Assim, a área da função \(\rho = \cos(2\theta)\) no intervalo \([0, \pi]\) é: E) \(\frac{\pi}{4}\)