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Utilizando o teorema de Fubini, calcule a integral dupla da função f(x, y)=x^{2} y^{3} no intervalo fechado [-1,2] \(\times\)[0,1] e assinale a alternativa que representa esse resultado corretamente.
A) \(\frac{4}{3}\)
B) 0
C) \(-\frac{3}{4}\)
D) 1
E) \(\frac{3}{4}\)
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- CÁLCULO PARA FUNÇÕES DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
6 pág.

- CÁLCULO PARA FUNÇÕES DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS

EDUCAMINAS

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Para resolver a integral dupla da função \( f(x, y) = x^2 y^3 \) no intervalo fechado \([-1, 2] \times [0, 1]\) utilizando o teorema de Fubini, devemos calcular a integral em duas etapas. 1. Calcular a integral em relação a \( y \): \[ \int_0^1 y^3 \, dy = \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} \] 2. Calcular a integral em relação a \( x \): Agora, precisamos integrar \( x^2 \) multiplicado pelo resultado da integral anterior: \[ \int_{-1}^2 x^2 \cdot \frac{1}{4} \, dx = \frac{1}{4} \int_{-1}^2 x^2 \, dx \] A integral de \( x^2 \) é: \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] Avaliando de \(-1\) a \(2\): \[ \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{8}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \] 3. Multiplicando pelo resultado da integral em \( y \): \[ \frac{1}{4} \cdot 3 = \frac{3}{4} \] Portanto, o resultado da integral dupla é \(\frac{3}{4}\). A alternativa correta é: E) \(\frac{3}{4}\).

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Resolva a equação diferencial x \( rac{d y}{d x}+(x+1) y=1 e\), em seguida, assinale a alternativa correta.
A) y(x)=\( rac{1}{x}+e^{x}\)
B) y(x)=c e^{-x}
C) y(x)=e^{-x}+c
D) y(x)=\( rac{c e^{-x}}{x}- rac{1}{x}+1\)
E) y(x)=c e^{-x}+\( rac{1}{x}\)

Seja a equação da curva parametrizada dada por C: \(\left\{\begin{array}{l}x=\cos 2 \pi t \\ y=\operatorname{sen} 2 \pi t\end{array}\right.\). Calcule (x, y) para t=2 e assinale a alternativa que o representa.
A) (x, y)=(-1,0).
B) (x, y)=(0,-1).
C) (x, y)=(1,-1).
D) (x, y)=(0,1).
E) (x, y)=(1,0).

Seja o campo vetorial dado por \(\vec{F}(x, y)=\nabla f=\left(\begin{array}{ll}y & x \\ 2 & 4\end{array}\right)\). Sabendo que \(\hat{s}(t)=\left\{\begin{array}{c}x(t)=t \\ y(t)=\frac{t^{2}}{2}-2 t\end{array} \operatorname{com}-1 \leq t \leq 4\) calcule \(\int_{C} \vec{F} \cdot d \hat{s}\) e assinale a alternativa correta.
A) \(\frac{3}{5}\)
B) \(\frac{1}{2}\)
C) \(\frac{-3}{5}\)
D) \(\frac{5}{12}\)
E) \(\frac{5}{12}\)

Seja a função f(x, y)=x^{2}+y^{2} e assumindo que podemos traçar curvas de nível quando x^{2}+y^{2}=c, qual dos gráficos abaixo representa a curva para c=4?
A)
A graph with a circle centered at the origin with a radius of 2 units, plotted on a grid with x ranging from -18 to 18 and y ranging from -9 to 9.

B)
A graph with a circle centered at the origin with a radius of 2 units, plotted on a grid with x ranging from -8 to 5 and y ranging from -3 to 3.

C)
A graph with a circle centered at the origin with a radius of 2 units, plotted on a grid with x ranging from -7 to 5 and y ranging from -3 to 3.

D)
A graph with a circle centered at the origin with a radius of 2 units, plotted on a grid with x ranging from -3.5 to 3.5 and y ranging from -1.5 to 1.5.

E)
A graph with a circle centered at the origin with a radius of 2 units, plotted on a grid with x ranging from -9 to 7 and y ranging from -3 to 3.

Seja a integral dupla dada por \(\int_{-1}^{3} \int_{x+1}^{2 x} x y+e^{x} d y d x\). Calcule o valor aproximado para essa integral, com três casas decimais, e assinale a alternativa que o representa.
A) -39,856
B) 39,856
C) 42,137
D) 37,521
E) -42,137

Resolva o problema de valor inicial (PVI) e assinale a alternativa correta com a solução y(x): \(\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=5 \\ y(0)=0\end{array}\right.\).
A) y(x)=x
B) y(x)=5 x+e^{x}
C) y(x)=5 x+1
D) y(x)=5 x
E) y(x)=e^{5 x}

Sabendo que \(S=\int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2}|f(\theta)|^{2} d \theta=\int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} \rho^{2} d \theta\) calcule a área da função \(\rho=\cos 2 \theta\) (rosácea) no intervalo [0, \(\pi\)].
A) \(\pi\)
B) \(\frac{\pi}{2}\)
C) \(\frac{\pi}{8}\)
D) \(-\pi\)
E) \(\frac{\pi}{4}\)

Sabendo que z=f(x, y)=\(\ln \left(\frac{y}{x}\right)\), onde x=\(\cos t\) e y=\(\operatorname{sen} t\), aplique a regra da cadeia e assinale a alternativa que a representa \(\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}\).
A) \(\frac{d z}{d t}=\frac{1}{t}+\tan t\)
B) \(\frac{d z}{d t}=\operatorname{sen} t+\cos t\)
C) \(\frac{d z}{d t}=\tan t+\cos t\)
D) \(\frac{d z}{d t}=\tan t+\frac{\cos t}{\operatorname{sen} t}\)
E) \(\frac{d z}{d t}=\tan t+\frac{1}{t}\)

Assumindo que \(A=\int_{a}^{b} F(x) d x=\int_{a}^{b} h(t) g^{\prime}(t) d t\) calcule A para \(\left\{\begin{array}{l}x=g(\theta)=\cos \theta \\ y=h(\theta)=\operatorname{sen}(\theta)\end{array}\right.\): \(\operatorname{com} 0 \leq \theta \leq 2 \pi\) e assinale a alternativa correta.
A) \(-\pi\)
B) \(2 \pi\)
C) \(\pi\)
D) \(-2 \pi\)
E) 0

Analise as assertivas a seguir e assinale a alternativa que apresenta as assertivas corretas: I. Uma função de múltiplas variáveis da forma f(x, y, z)=w pode ser representada no plano cartesiano ortogonal tridimensional. II. Uma função de múltiplas variáveis da forma f(x, y)=z pode ser representada no plano cartesiano ortogonal tridimensional. III. Uma função de múltiplas variáveis da forma f(x, y)=z pode ser representada no plano cartesiano ortogonal bidimensional.
A) Apenas a assertiva II está correta.
B) Apenas a assertiva I está correta.
C) Apenas as assertivas I e II estão corretas.
D) Apenas a assertiva III está correta.
E) Apenas as assertivas II e III estão corretas.

Seja a integral de linha dada por \(\oint_{C}\left(2+x^{2} y+z\right) d S\) \(\operatorname{com} x(t)=\cos t, y(t)=\operatorname{sen} t\) e z(t)=0,2 t, \(\operatorname{com} 0 \leq t \leq 2 \pi\). Calcule essa integral e assinale a alternativa que representa esse resultado. Considere uma aproximação de duas casas decimais.
A) 16,01
B) 12,06
C) 4,03
D) 8,03
E) 9,14

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