Para resolver a questão, precisamos aplicar a regra da cadeia para encontrar \(\frac{dz}{dt}\). Dado que \(z = f(x, y) = \ln\left(\frac{y}{x}\right)\), onde \(x = \cos t\) e \(y = \sen t\), vamos calcular as derivadas parciais de \(z\) em relação a \(x\) e \(y\): 1. Derivada parcial de \(z\) em relação a \(x\): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{1}{x} \] 2. Derivada parcial de \(z\) em relação a \(y\): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{y} \] Agora, precisamos calcular \(\frac{dx}{dt}\) e \(\frac{dy}{dt}\): - Para \(x = \cos t\): \[ \frac{dx}{dt} = -\sen t \] - Para \(y = \sen t\): \[ \frac{dy}{dt} = \cos t \] Agora, aplicando a regra da cadeia: \[ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} \] Substituindo as derivadas: \[ \frac{dz}{dt} = \left(-\frac{1}{x}\right)(-\sen t) + \left(\frac{1}{y}\right)(\cos t) \] Substituindo \(x\) e \(y\): \[ \frac{dz}{dt} = \left(-\frac{1}{\cos t}\right)(-\sen t) + \left(\frac{1}{\sen t}\right)(\cos t) \] \[ = \frac{\sen t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sen t} \] \[ = \tan t + \frac{\cos t}{\sen t} \] Portanto, a alternativa correta é: D) \(\frac{d z}{d t}=\tan t+\frac{\cos t}{\operatorname{sen} t}\)