Para resolver a integral de linha \(\int_{C} \vec{F} \cdot d\hat{s}\), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Identificar o campo vetorial: Dado que \(\vec{F}(x, y) = \nabla f = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}\), podemos reescrever como \(\vec{F}(x, y) = (y, x)\). 2. Definir a parametrização: A curva \(C\) é parametrizada por \(\hat{s}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ \frac{t^2}{2} - 2t \end{pmatrix}\) para \(-1 \leq t \leq 4\). 3. Calcular \(d\hat{s}\): A derivada da parametrização em relação a \(t\) é: \[ d\hat{s} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} dt \\ (t - 2) dt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ t - 2 \end{pmatrix} dt \] 4. Substituir na integral: Agora, substituímos \(x(t)\) e \(y(t)\) na função \(\vec{F}\): \[ \vec{F}(t) = \begin{pmatrix} \frac{t^2}{2} - 2t \\ t \end{pmatrix} \] 5. Calcular o produto escalar: \[ \vec{F}(t) \cdot d\hat{s} = \begin{pmatrix} \frac{t^2}{2} - 2t \\ t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ t - 2 \end{pmatrix} = \left(\frac{t^2}{2} - 2t\right) \cdot 1 + t \cdot (t - 2) \] \[ = \frac{t^2}{2} - 2t + t^2 - 2t = \frac{3t^2}{2} - 4t \] 6. Integrar: \[ \int_{-1}^{4} \left(\frac{3t^2}{2} - 4t\right) dt \] Calculando a integral: \[ = \left[\frac{3}{6}t^3 - 2t^2\right]_{-1}^{4} = \left[\frac{1}{2}t^3 - 2t^2\right]_{-1}^{4} \] Avaliando nos limites: \[ = \left(\frac{1}{2}(4^3) - 2(4^2)\right) - \left(\frac{1}{2}(-1^3) - 2(-1^2)\right) \] \[ = \left(\frac{1}{2}(64) - 32\right) - \left(-\frac{1}{2} - 2\right) \] \[ = (32 - 32) - \left(-\frac{1}{2} - 2\right) = 0 - \left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{5}{2} \] 7. Verificar as alternativas: Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado obtido. Parece que houve um erro na interpretação ou nos cálculos. Por favor, verifique os dados fornecidos ou se há mais informações que possam ajudar a esclarecer a questão.