Para resolver a integral \(A=\int_{a}^{b} F(x) d x=\int_{a}^{b} h(t) g^{\prime}(t) d t\) com as funções dadas \(x=g(\theta)=\cos \theta\) e \(y=h(\theta)=\sin(\theta)\), precisamos primeiro determinar os limites de integração e a derivada \(g'(\theta)\). 1. Derivada de \(g(\theta)\): \[ g'(\theta) = \frac{d}{d\theta}(\cos \theta) = -\sin \theta \] 2. Substituição na integral: A integral se torna: \[ A = \int_{0}^{2\pi} h(\theta) g'(\theta) d\theta = \int_{0}^{2\pi} \sin(\theta)(-\sin(\theta)) d\theta = -\int_{0}^{2\pi} \sin^2(\theta) d\theta \] 3. Cálculo da integral: A integral de \(\sin^2(\theta)\) pode ser calculada usando a identidade: \[ \sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \] Portanto: \[ -\int_{0}^{2\pi} \sin^2(\theta) d\theta = -\int_{0}^{2\pi} \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} d\theta \] Isso se separa em duas integrais: \[ = -\frac{1}{2} \left( \int_{0}^{2\pi} 1 d\theta - \int_{0}^{2\pi} \cos(2\theta) d\theta \right) \] A primeira integral é: \[ \int_{0}^{2\pi} 1 d\theta = 2\pi \] A segunda integral é zero, pois \(\cos(2\theta)\) é uma função periódica que se anula em um período completo: \[ \int_{0}^{2\pi} \cos(2\theta) d\theta = 0 \] Portanto: \[ -\frac{1}{2} (2\pi - 0) = -\frac{2\pi}{2} = -\pi \] Assim, o valor de \(A\) é \(-\pi\). A alternativa correta é: A) \(-\pi\)