Para resolver a integral de linha dada, precisamos primeiro parametrizar a curva \(C\) usando as funções \(x(t)\), \(y(t)\) e \(z(t)\) fornecidas. As parametrizações são: - \(x(t) = \cos t\) - \(y(t) = \sin t\) - \(z(t) = 0,2t\) A integral de linha é dada por: \[ \oint_{C} \left(2 + x^2 y + z\right) dS \] Primeiro, precisamos calcular \(dS\), que é o elemento de comprimento de arco. Para isso, usamos a fórmula: \[ dS = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} dt \] Calculando as derivadas: - \(\frac{dx}{dt} = -\sin t\) - \(\frac{dy}{dt} = \cos t\) - \(\frac{dz}{dt} = 0,2\) Agora, substituímos na fórmula de \(dS\): \[ dS = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + (0,2)^2} dt = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 0,04} dt = \sqrt{1 + 0,04} dt = \sqrt{1,04} dt \] Agora, substituímos \(x(t)\), \(y(t)\) e \(z(t)\) na função a ser integrada: \[ 2 + x^2 y + z = 2 + (\cos^2 t)(\sin t) + 0,2t \] A integral se torna: \[ \oint_{C} \left(2 + \cos^2 t \sin t + 0,2t\right) \sqrt{1,04} dt \] Como a curva \(C\) é fechada (de \(0\) a \(2\pi\)), a parte que envolve \(t\) (ou seja, \(0,2t\)) não contribui para a integral, pois a integral de uma função linear em um intervalo completo de \(0\) a \(2\pi\) é zero. Portanto, precisamos calcular apenas: \[ \sqrt{1,04} \int_{0}^{2\pi} \left(2 + \cos^2 t \sin t\right) dt \] A integral de \(\cos^2 t \sin t\) em um período completo também é zero, então ficamos com: \[ \sqrt{1,04} \int_{0}^{2\pi} 2 dt = \sqrt{1,04} \cdot 2 \cdot 2\pi = 4\pi \sqrt{1,04} \] Calculando \(\sqrt{1,04} \approx 1,02\): \[ 4\pi \cdot 1,02 \approx 4 \cdot 3,14 \cdot 1,02 \approx 12,76 \] Aproximando para duas casas decimais, o resultado mais próximo das alternativas dadas é: B) 12,06 Portanto, a alternativa correta é B) 12,06.