Numa P.A. o vigésimo termo é 54 e o oitavo termo é 6. Calcule a razão e o décimo termo.

Para resolver essa questão, vamos usar a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética (P.A.), que é: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r \] onde: - \( a_n \) é o n-ésimo termo, - \( a_1 \) é o primeiro termo, - \( r \) é a razão, - \( n \) é a posição do termo. Temos as seguintes informações: - O vigésimo termo (\( a_{20} \)) é 54. - O oitavo termo (\( a_8 \)) é 6. Podemos escrever as duas equações: 1. \( a_{20} = a_1 + 19r = 54 \) (equação 1) 2. \( a_8 = a_1 + 7r = 6 \) (equação 2) Agora, vamos resolver o sistema de equações. Subtraindo a equação 2 da equação 1: \[ (a_1 + 19r) - (a_1 + 7r) = 54 - 6 \] Isso simplifica para: \[ 12r = 48 \] Portanto, a razão \( r \) é: \[ r = \frac{48}{12} = 4 \] Agora que temos a razão, podemos substituir \( r \) em uma das equações para encontrar \( a_1 \). Vamos usar a equação 2: \[ a_1 + 7 \cdot 4 = 6 \] \[ a_1 + 28 = 6 \] \[ a_1 = 6 - 28 = -22 \] Agora que temos \( a_1 \) e \( r \), podemos calcular o décimo termo (\( a_{10} \)): \[ a_{10} = a_1 + 9r \] Substituindo os valores: \[ a_{10} = -22 + 9 \cdot 4 \] \[ a_{10} = -22 + 36 \] \[ a_{10} = 14 \] Portanto, a razão é 4 e o décimo termo é 14.