Vamos analisar as funções dadas e as operações solicitadas. As funções são: - \( f(x) = \sqrt{x} \) - \( g(x) = \sqrt{x^2 + 1} \) Agora, vamos calcular as operações \( (f \cdot g)(x) \) e \( (f / g)(x) \): 1. Produto \( (f \cdot g)(x) \): \[ (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{x(x^2 + 1)} = \sqrt{x^3 + x} \] 2. Divisão \( (f / g)(x) \): \[ (f / g)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2 + 1}} = \sqrt{\frac{x}{x^2 + 1}} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a. \( (f \cdot g)(x) = \sqrt{x^3 + x} \) e \( (f / g)(x) = \sqrt{x} \) - Incorreta. b. \( (f \cdot g)(x) = \sqrt{x^2 + x} \) e \( (f / g)(x) = \sqrt{\frac{x}{x + 1}} \) - Incorreta. c. \( (f \cdot g)(x) = \sqrt{x^3} \) e \( (f / g)(x) = \sqrt{\frac{x}{x^3 + 1}} \) - Incorreta. d. \( (f \cdot g)(x) = \sqrt{x^3 + x^2} \) e \( (f / g)(x) = \sqrt{\frac{1}{x}} \) - Incorreta. e. \( (f \cdot g)(x) = \sqrt{x^3 + x} \) e \( (f / g)(x) = \sqrt{\frac{x}{x^3 + 1}} \) - Incorreta. A única alternativa que corresponde corretamente a \( (f \cdot g)(x) \) e \( (f / g)(x) \) é a a), que é \( (f \cdot g)(x) = \sqrt{x^3 + x} \) e \( (f / g)(x) = \sqrt{\frac{x}{x^2 + 1}} \). Portanto, a resposta correta é a) \( (f \cdot g)(x) = \sqrt{x^3 + x} \) e \( (f / g)(x) = \sqrt{\frac{x}{x^2 + 1}} \).