Vamos analisar as asserções: I. "Observa-se que essas duas matrizes comutam." Para que duas matrizes A e B comutem, deve-se ter que AB = BA. Precisamos calcular AB e BA para verificar se essa afirmação é verdadeira. II. "A matriz B é inversa de A." Para que B seja a inversa de A, deve-se ter que AB = I (matriz identidade) e BA = I. Precisamos verificar se essa condição é satisfeita. Agora, vamos calcular: 1. A matriz A é: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \] E a matriz B é: \[ B = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix} \] 2. Calculando AB: \[ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot \frac{3}{5} + 2 \cdot \frac{1}{6} & 1 \cdot -\frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{6} \\ -1 \cdot \frac{3}{5} + 3 \cdot \frac{1}{6} & -1 \cdot -\frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{1}{6} \end{pmatrix} \] Calculando cada elemento: - Primeiro elemento: \( \frac{3}{5} + \frac{2}{6} = \frac{3}{5} + \frac{1}{3} = \frac{9}{15} + \frac{5}{15} = \frac{14}{15} \) - Segundo elemento: \( -\frac{2}{3} + \frac{2}{6} = -\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} \) - Terceiro elemento: \( -\frac{3}{5} + \frac{3}{6} = -\frac{3}{5} + \frac{5}{10} = -\frac{6}{10} + \frac{5}{10} = -\frac{1}{10} \) - Quarto elemento: \( \frac{2}{3} + \frac{3}{6} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6} \) Portanto, temos: \[ AB = \begin{pmatrix} \frac{14}{15} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{10} & \frac{7}{6} \end{pmatrix} \] 3. Agora, vamos calcular BA: \[ BA = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} \cdot 1 + -\frac{2}{3} \cdot -1 & \frac{3}{5} \cdot 2 + -\frac{2}{3} \cdot 3 \\ \frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{6} \cdot -1 & \frac{1}{6} \cdot 2 + \frac{1}{6} \cdot 3 \end{pmatrix} \] Calculando cada elemento: - Primeiro elemento: \( \frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{9}{15} + \frac{10}{15} = \frac{19}{15} \) - Segundo elemento: \( \frac{6}{5} - 2 = \frac{6}{5} - \frac{10}{5} = -\frac{4}{5} \) - Terceiro elemento: \( \frac{1}{6} - \frac{1}{6} = 0 \) - Quarto elemento: \( \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \) Portanto, temos: \[ BA = \begin{pmatrix} \frac{19}{15} & -\frac{4}{5} \\ 0 & \frac{5}{6} \end{pmatrix} \] Como \( AB \neq BA \), a asserção I é falsa. Agora, para a asserção II, precisamos verificar se B é a inversa de A. Para isso, precisamos que \( AB = I \) e \( BA = I \). Como já vimos que \( AB \neq I \) e \( BA \neq I \), a asserção II também é falsa. Portanto, a alternativa correta é: E) As asserções I e II são proposições falsas.