Calcule $\int_{C}$ ysen $z d s$, onde C é a hélice circular dada pelas equações $x=\cos t, y=\sin t, z=t, 0 \leq t \leq 2 \pi$.

Para calcular a integral de linha \(\int_{C} y \sin z \, ds\) ao longo da hélice circular dada pelas equações \(x = \cos t\), \(y = \sin t\), \(z = t\) para \(0 \leq t \leq 2\pi\), precisamos seguir alguns passos. 1. Encontrar \(ds\): O elemento de comprimento \(ds\) é dado por: \[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} \, dt \] Calculando as derivadas: \[ \frac{dx}{dt} = -\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = \cos t, \quad \frac{dz}{dt} = 1 \] Portanto, \[ ds = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + (1)^2} \, dt = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1} \, dt = \sqrt{1 + 1} \, dt = \sqrt{2} \, dt \] 2. Substituir \(y\) e \(z\): Na integral, temos \(y = \sin t\) e \(z = t\). Assim, a integral se torna: \[ \int_{C} y \sin z \, ds = \int_{0}^{2\pi} \sin t \sin(t) \sqrt{2} \, dt = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \sin^2 t \, dt \] 3. Calcular \(\int_{0}^{2\pi} \sin^2 t \, dt\): Usamos a identidade \(\sin^2 t = \frac{1 - \cos(2t)}{2}\): \[ \int_{0}^{2\pi} \sin^2 t \, dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1 - \cos(2t)}{2} \, dt = \frac{1}{2} \left[ t - \frac{\sin(2t)}{2} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2} \left[ 2\pi - 0 \right] = \pi \] 4. Substituir na integral: \[ \int_{C} y \sin z \, ds = \sqrt{2} \cdot \pi \] Portanto, o resultado da integral é: \[ \int_{C} y \sin z \, ds = \pi \sqrt{2} \]